Argumento de $-1+\sqrt3i$

Question

Encuentra el argumento de $-1+\sqrt3 i$.

Mi libro ha dado la respuesta como $\frac{2\pi}3$.

Pero yo obtuve $\frac{4\pi}3$.

Dado que $$\theta =\tan^{-1}(-\sqrt3)=\frac{-\pi}3$$ Como se encuentra en el segundo cuadrante, entonces $$\theta =\pi-\frac{-\pi}3=\frac{4\pi}3$$

¿Dónde está mi error?

Answer 1

$$z=-1+\sqrt3i$$

$$z=x+yi$$

$$z=2(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i)$$

$$z=\cos\theta+\sin \theta i$$

$$\cos\theta=-\frac{1}{2}$$

$$\sin \theta=\frac{\sqrt3}{2}$$

Dado que sabemos que $\sin\theta$ es positivo solo en el primer y segundo cuadrante por inspección. Por lo tanto, tenemos dos opciones a considerar. También sabemos que $\cos\theta$ es negativo en el segundo y tercer cuadrante. Con esto, podemos concluir que el ángulo debe estar dentro del segundo cuadrante.

$$\theta=\arcsin \frac{\sqrt {3}}{2}$$

$$\theta=\frac{\pi}{3}$$

El $\theta$ que tenemos aquí está en el primer cuadrante.

Para obtener el segundo cuadrante en el que $\sin\theta$ también es positivo. Utilizando $\pi-\theta$

Por lo tanto,

$$\theta=\pi-\frac{\pi}{3}$$

$$\theta=\frac{2\pi}{3}$$

Answer 2

El resultado de la función tangente inversa es correcto solo módulo $\pi$; esto significa que $\pi$ puede tener que ser agregado para obtener el ángulo correcto. Aquí $-\frac\pi3$ está en el cuarto cuadrante pero el número complejo dado está en el segundo cuadrante, entonces se debe agregar $\pi$ y esto da como resultado la respuesta correcta: $$-\frac\pi3+\pi=\frac{2\pi}3$$ Nótese que $\frac{4\pi}3$ está en el tercer cuadrante, por lo tanto, está incorrecto.

La función que devuelve el argumento correcto de un número complejo a veces se llama atan2 en programación de computadoras.

Answer 3

Como tú mismo (¡correctamente!) dijiste,

está en el segundo cuadrante

pero nota que la respuesta que propusiste, $\color{red}{\displaystyle\frac{4\pi}{3}}$, NO está en el segundo cuadrante, sino que está en el tercer cuadrante. Así que te estás contradiciendo aquí, y eso debería haberte alertado de que algo no está bien. Por otro lado, la respuesta proporcionada en el libro es mucho más plausible, porque en realidad está en el segundo cuadrante, y de hecho es la respuesta correcta.

¿Dónde te equivocaste? A nivel meta, tu error es seguir ciegamente reglas sin sentido (para ti). En cuanto a tus pasos matemáticos, te equivocaste dos veces: tanto cuando dijiste que $$\color{red}{\theta=\tan^{-1}(-\sqrt3)}$$ y cuando dijiste que $$\color{red}{\theta =\pi-\frac{-\pi}3=\frac{4\pi}3}.$$

Primer error: de todos modos sabías que no era cierto, ya que seguiste y cambiaste el ángulo, entonces no deberías haber dicho que era tu $\theta en primer lugar.

Segundo error: ¿por qué? ¿De dónde viene esta "regla"? ¿Entiendes por qué deberías hacer eso? Porque si no lo entiendes, pero solo estás siguiendo los movimientos porque alguien te dio la fórmula, seguramente obtendrás respuestas equivocadas.

¿Cómo deberías abordar este tipo de preguntas? ¡Tenías todas las piezas correctas! Necesitas encontrar un ángulo $\theta$ que cumpla con las siguientes dos condiciones: $$\tan\theta=-\sqrt{3} \quad \text{y} \quad \theta\in\text{cuadrante II}.$$ Básicamente hay dos ángulos diferentes en el círculo unitario (ignorando la periodicidad, es decir, no nos preocupemos por "$+2\pi n$") cuya tangente es $-\sqrt{3}$: son $\displaystyle-\frac{\pi}{3}$ y $\displaystyle\frac{2\pi}{3}$. ¿Cuál de ellos está en el segundo cuadrante?

Answer 4

$-1+i\sqrt{3}=2\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$

Answer 5

Aquí tienes una forma infalible de encontrar el argumento de un número complejo.

Primero ignora todos los signos de las partes imaginaria y real. Toma la razón de los valores absolutos de las partes imaginaria y real y encuentra la arcotangente de eso. En tu caso, eso sería $\arctan \sqrt 3 = \frac{\pi}{3}$.

Este es el ángulo de referencia (llámalo $\alpha$) del argumento, al igual que en la trigonometría "normal". El ángulo de referencia siempre se encuentra en el primer cuadrante.

Ahora decide en qué cuadrante se encuentra el número complejo. Colócalo en un diagrama de Argand (plano cartesiano). En este caso, dado que el valor real (eje $x$) es negativo y el valor imaginario (eje $y$) es positivo, el número se encuentra en el segundo cuadrante.

Para el primer cuadrante, el argumento es igual al ángulo de referencia $\alpha$.

Para el segundo cuadrante, el argumento es igual a $\pi-\alpha$

Para el tercer cuadrante, el argumento es igual a $\pi+\alpha$. Sin embargo, el valor principal del argumento (por convención) se encuentra en el intervalo $(-\pi, \pi]$. El valor equivalente sería entonces $\alpha - \pi$, ya que los ángulos que difieren por un múltiplo de $2\pi$ son equivalentes.

Para el cuarto cuadrante, el argumento es igual a $2\pi - \alpha$. Nuevamente, para obtener el argumento dentro del rango convencional del valor de referencia, tomamos el argumento como simplemente $-\alpha$.

En tu caso, el argumento seguiría el caso del segundo cuadrante, y eso es $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$