Demostrar que si una función $f$ tiene un salto en un punto interior del intervalo $[a,b]$ entonces no puede ser la derivada de ninguna función.

Question

Demostrar que si una función $f$ tiene un salto en un punto interior del intervalo $[a,b]$ entonces no puede ser la derivada de ninguna función.

Sé que para $f$ es diferenciable en $(a,b)$ y que tiene una derivada unilateral $f_+' (a)f_-' (b)$ en los puntos finales. Si $C$ es un número real entre $f_+' (a)$ y $f_-' (b)$ entonces existe $c(a,b)$ tal que $f' (c)=C $ . ¿Cómo puedo utilizar esto para demostrar lo anterior?

Answer 1

Este es un resultado estándar de que las derivadas no tienen discontinuidad de salto.

Dejemos que $c \in (a, b)$ entonces $f'(c) = \lim_{x \to c}\dfrac{f(x) - f(c)}{x - c}$ existe. Supongamos que los límites $\lim_{x \to c^{+}}f'(x) = A, \lim_{x \to c^{-}}f'(x) = B$ existe. Ahora vamos a tratar el caso de $x \to c^{+}$ primero. Claramente entonces $x > c$ y tenemos $\dfrac{f(x) - f(c)}{x - c} = f'(d)$ para algunos $d \in (c, x)$ . Como $x \to c^{+}$ , $d \to c^{+}$ y obtenemos $$f'(c) = \lim_{x \to c^{+}}\dfrac{f(x) - f(c)}{x - c} = \lim_{d \to c^{+}}f'(d) = A$$

Del mismo modo, al considerar $x \to c^{-}$ podemos demostrar que $B = f'(c)$ para que $A = B$ y $f'(x)$ es continua en $c$ y por lo tanto no tiene discontinuidad de salto. Sin embargo, puede ocurrir que uno o ambos límites $A, B$ no existen o son $\pm\infty$ .

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Actualización : Me sorprende un poco ver que en los comentarios a la pregunta la gente ha relacionado este resultado con el IVT (teorema del valor intermedio) para las derivadas. Estas dos propiedades de las derivadas (IVT y ausencia de discontinuidad en los saltos) no son derivables la una de la otra. Más bien, ambas se derivan del Teorema del Valor Medio de formas completamente diferentes.

Más información : He echado un vistazo al artículo de la Wikipedia que trata del teorema de Darboux (IVT para las derivadas). Incluso la wikipedia comete el error de que cualquier función que satisfaga el IVT no puede tener discontinuidad de salto. Esto es totalmente inesperado por parte de la wikipedia y no sé a quién reclamar por esto.

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He aquí un ejemplo muy sencillo para demostrar mi punto de vista. Dejemos que $f(0) = 0, f(1) = 1$ y $ f(x) = 1 - x$ para $x\in (0, 1)$ . Esta función satisface la IVT en $[0, 1]$ y todavía tiene saltos en los puntos finales.

Lo que sí es cierto es lo siguiente:

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Una función $f$ que es monótona y satisface la IVT en $[a,b]$ no tiene discontinuidad de salto y, por tanto, es continua en $[a, b]$

Aún más actualización : Debido a la paráfrasis del comentario de copper.hat en la pregunta he interpretado mal el artículo de Wikipedia. Según el comentario de copper.hat si $g(x)$ toma todos los valores en el intervalo $[g(a), g(b)]$ como $x$ varía en $[a, b]$ entonces $g(x)$ no puede tener saltos en $[a, b]$ . Esta afirmación es equivocada .

Sin embargo, Wikipedia tiene una definición diferente. Dice que una función es una función de Darboux si satisface la propiedad del valor intermedio. La propiedad del valor intermedio se define de la siguiente manera: sea $f$ se defina en el intervalo $I$ . Si para cualquier $[a, b] \subseteq I$ la función $f$ toma todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$ para algún valor de $x \in (a, b)$ entonces se dice que tiene la propiedad de valor intermedio en $I$ .

Me perdí la parte de cualquier $[a, b] \subseteq I$ y pensó que la propiedad del valor intermedio de $f$ en un intervalo $[a, b]$ se supone que significa que $f$ debe tomar todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$ para algunos $x \in (a, b)$ . Nótese la sutil diferencia entre la versión de Wikipedia y mi interpretación. Wikipedia prescribe una condición muy fuerte donde tenemos que comprobar cada subintervalo $[a, b]$ del dominio de definición $I$ de la función $f$ mientras que en mi interpretación sólo tenemos que comprobarlo para $I$ y no cualquier subintervalo de $I$ .

Para decirlo formalmente, dejemos que la versión de Wikipedia de la IVT se llame WIVT y que mi versión se llame PIVT. Entonces una función $f$ satisface WIVT si satisface PIVT en cada subintervalo de $I$ . Una función que satisface WIVT no tiene saltos mientras que una función que satisface PIVT puede tener saltos.

Answer 2

Sólo intento añadir algo de claridad a la parte complicada de las pruebas presentadas anteriormente.

Dejemos que $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ sea diferenciable en $(a,b)$ y $c$ y punto interior del intervalo, $c\in(a,b)$ . Vamos a demostrar que $$\left.\begin{array}{rr} \displaystyle\lim_{x\to c^+}f'(x)=A\\ \displaystyle\lim_{x\to c^-}f'(x)=B\\ \end{array}\right\}\,\Rightarrow A=B=f'(c)$$ Para cada $x\in(c,b)$ , $f$ es continua en $[c,x]$ y diferenciable en $(c,x)$ por lo que podemos aplicar el teorema del valor medio a $f$ en el intervalo $[c,x]$ . Así, para cada intervalo $[c,x]$ existe un $d(x)\in (c,x)$ tal que $$f'\big(d(x)\big)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}$$ Desde $f$ es diferenciable en $c$ , haciendo que $x\to c^+$ en el lado derecho de la expresión da: $$\displaystyle\lim_{x\to c^+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c)$$ El LHS de la igualdad es un poco más complicado, nos gustaría decir que $$\displaystyle\lim_{x\to c^+}f'\big(d(x)\big)=\displaystyle\lim_{x\to c^+}f'(x)=A$$ pero eso no es obvio, ya que no podemos asumir $f'$ para ser continua (a la derecha) en $c$ . Sin embargo, sabemos que $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f'(x)=A$ usaremos $\epsilon-\delta$ definición de límite. Sea $\epsilon>0$ , $$\exists\delta>0 \,:\, \text{ if } 0<x-c<\delta\, \text{ then }\, |f'(x)-A|<\epsilon$$ (nótese que escribimos $0<x-c<\delta$ en lugar de $0<|x-c|<\delta$ porque estamos tomando el límite de la derecha, es decir $x>c$ ). El MVT garantiza que $d(x)\in (c,x)$ Es decir $$c<d(x)<x\,\Rightarrow\, 0<d(x)-c<x-c$$ Pero esto significa $$0<x-c<\delta\,\Rightarrow\,0<d(x)-c<\delta\,\Rightarrow\,|f'\big(d(x)\big)-A|<\epsilon$$ así $\displaystyle\lim_{x\to c^+}f'\big(d(x)\big)=A$ como se desea. Hemos visto $$f'\big(d(x)\big)=\frac{f(x)-f(c)}{x-c}\xrightarrow{x\rightarrow c^+} A=f'(c)$$ Del mismo modo, podemos demostrar $B=f'(c)$ y hemos terminado.

La respuesta a su pregunta se deduce directamente de este resultado.

Dejemos que $f$ sea diferenciable en $(a,c)\cup(c,b)$ . Supongamos que $f'$ tiene una discontinuidad de salto en $c$ : $$\displaystyle\lim_{x\to c^+}f'(x)=A\not= B= \displaystyle\lim_{x\to c^-}f'(x)$$ (para decir que tenemos un salto requerimos que los límites \textbf{existan} y sean diferentes). Por el resultado, si $f$ también era diferenciable en $c$ Tendríamos $A=B$ que contradice la hipótesis de tener un salto: $A\neq B$ . Por lo tanto, $f$ no puede ser diferenciable en $c$ .