◦ es ya sea nand o ni si ◦ es un operador binario que puede definir la negación y los otros operadores binarios por sí mismo.

Question

Tengo un esquema de la prueba en mi libro, pero no soy capaz de entender la segunda parte de la misma.

Supongamos que $\circ$ es un operador binario que puede definir todos los otros operadores. La negación debe ser definido por una equivalencia de la forma: $¬A \equiv A \circ \dots \circ A$ ($n$ veces $A$; si $\circ$ no es asociativa, agregar paréntesis cuando sea necesario).

Cualquier operador binario $\text{op}$ debe ser definido por una equivalencia: $A_1 \text{ op } A_2 \equiv B_1 \circ \dots \circ B_n$, donde cada una de las $B_i$ es $A_1$ o $A_2$. (Si $\circ$ no es asociativa, añadir los paréntesis si fuera necesario). Vamos a mostrar que estos requisitos se imponen restricciones en $\circ$ por lo que debe ser nand o nor.

Ahora soy capaz de demostrar por inducción que cuando $v(A_1)= T$ e $v(A_2)=T$ implica $v(A_1 \circ A_2)=F$ e al $v(A_1)=F$ e $v(A_2)=F$ implica $v(A_1 \circ A_2)=T$. ¿Cómo puedo probar el resto de los dos informes periciales debe ser $T$ o ambos $F$?

Answer 1

Si los dos restantes valoración de $v(A_1 \circ A_2)=F$ no son las mismas, a continuación, $\circ$ será una única operación (ignorará $A_1$ o $A_2$).

Si $v(T \circ F)=F$ e $v(F \circ T)=T$, a continuación, $v(A_1 \circ A_2)=v(\lnot A_1)$

Si $v(T \circ F)=T$ e $v(F \circ T)=F$, a continuación, $v(A_1 \circ A_2)=v(\lnot A_2)$

Ya que estos son los dos operaciones unarias, se pueden definir otros binarios operaters.