¿Por qué el conjugado de una función es siempre convexo?

Question

El conjugado de una función $f$ se da (para algunos $y \in \operatorname{dom}(f)$ ) como:

$$f^*(y) = \sup_{x \in \operatorname{dom}(f)}\left(y^Tx - f(x)\right)$$

Se sabe que $f^*$ es convexo incluso si $f$ no lo es. Me gustaría saber cómo probar esto.

Answer 1

Para cualquier $x \in \operatorname{dom} f$ la función: $$y \mapsto y^\top x - f(x)$$ es una función afín, que es convexa y semicontinua inferior (y, de hecho, continua). El epígrafe de estas funciones es, por tanto, cerrado y convexo.

Entonces, $f^*$ es el sumo puntual de las funciones anteriores, y su epígrafe es la intersección de los epígrafes de las funciones afines anteriores. Cada una de ellas es cerrada y convexa, lo que demuestra que el epígrafe de $f^*$ es cerrado y convexo, por lo que $f^*$ es convexo y semicontinuo inferior.

Answer 2

Al escribir esta pregunta he recordado el siguiente hecho, y he intentado demostrar esta propiedad de las funciones conjugadas utilizándola.

Si $h(y,\,x)$ es convexo en $y$ para cada $x \in \mathcal{A}$ entonces $g(y) = \sup_{x \in \mathcal{A}}h(y,\,x)$ (el sumo puntual) es convexo.

Intentemos aplicar este hecho a nuestro problema, encontrando los "términos equivalentes":

1. $f^*(y)$ es $g(y)$
2. $\mathcal{A}$ es $\operatorname{dom}(f)$
3. $y^Tx - f(x)$ es $h(y,\,x)$

¿Cumplen estos términos "equivalentes" las condiciones necesarias para que podamos utilizar este hecho? Es decir ,

$\forall x \in \operatorname{dom}(f),\,\text{is}\,h(y,\,x) := y^Tx - f(x)$ convexo en $y$ ?

Intentemos demostrarlo utilizando la desigualdad de Jensen.

Para algunos $x,\,a,\,b \in \operatorname{dom}(f),\,\theta \in [0,\,1]$ considerar: \begin{equation*} \begin{aligned} & h(\theta a + (1 - \theta) b,\,x)\\ & = (\theta a + (1 - \theta) b)^Tx - f(x)\\ & = \theta a^T x + (1 - \theta) b^T x - f(x)\\ & = \theta a^T x - \theta f(x) + (1 - \theta) b^T x - (1 - \theta) f(x)\\ & = \theta (a^T x - f(x)) + (1 - \theta) (b^T x - f(x))\\ & = \theta h(a,\,x) + (1 - \theta) h(b,\,x)\\ \end{aligned} \end{equation*}

Ya que la igualdad siempre se mantiene, $h(y,\,x)$ es convexo en $y$ .

Ahora que he hecho esto, me doy cuenta de lo siguiente: $h(y,\,x)$ era sólo una función afín en $y$ , lo que significa que el supremum puntual, es decir el conjugado de $f$ también será convexo.