Defino una exponencial de la dispersión de la familia como a la distribución de cualquier cuyo PMF/PDF $$f(y \mid \boldsymbol\theta) = \exp\left\{\phi[y\theta - b(\theta)] + c(y, \phi) \right\}\text{, } y \in \Omega$$ donde $\Omega$ es en el apoyo de una variable aleatoria $Y$ en la familia.
Supongamos $Y_1, \dots, Y_m$ son independientes y binomial distribuida ($n$ ensayos, la probabilidad de éxito $p_i$). Ya he demostrado que la distribución Binomial satisface la anterior, con $$\begin{align} \phi &= 1 \\ \theta_i &= \log\left(\dfrac{p_i}{1-p_i} \right) \\ b(\theta_i) &= n\log\left(\dfrac{1}{1-p_i}\right) \\ c(\phi, y_i) &= \log\binom{n}{y_i}\text{.} \end{align}$$ Después de algún trabajo, me mostró que, como una función de la $\theta_i$, $$b(\theta_i) = n\log(e^{\theta_i} + 1)$$ (esto es consistente con lo que he encontrado en http://sfb649.wiwi.hu-berlin.de/fedc_homepage/xplore/tutorials/xlghtmlnode38.html) y entiendo que $$\mu_i = b^{\prime}(\theta_i) = n \cdot \dfrac{e^{\theta_i}}{e^{\theta_i}+1}\text{.}$$
También entiendo que lo que tenemos que hacer es resolver de $\theta_i$ en la de arriba, y el enlace canónico función sería la $g(\mu_i) = \theta_i$ , de acuerdo a lo antes mencionado. Pero una cosa que me molesta: cuando ejecuto el anterior a través de WolframAlpha, puedo obtener $$g(\mu_i) = \theta_i = \log\left( \dfrac{\mu_i}{n-\mu_i}\right)\text{.}$$ Cada una de las fuentes que he visto dice que el $n$ arriba debe ser un $1$ para el binomio canónica de la función de enlace. Hice algo mal?
