$R$ es un anillo comutativo unital, $M$ y $N$ $R$-módulos. ¿Si es de $f:M \to N$ $R$-lineal, entonces es cierto que $M= \ker(f) \oplus \text{im}(f)$?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo con unidad. Demostrar o refutar: para $R$-módulos de $M$ e $N$si $f:M \to N$ es $R$-lineal, $M= \ker(f) \oplus \operatorname{im}(f)$.

Mi intento:

Deje $f : \Bbb Z/4\Bbb Z \to \Bbb Z/2\Bbb Z$ ser definido por $f(\bar{n}) = \overline{2n}$.

A continuación, $\operatorname{im}(f) = \Bbb Z/2\Bbb Z$ e $\ker(f) = \{\bar{0},\bar{2}\} \cong \Bbb Z/2\Bbb Z$ (como $\Bbb Z$-módulos).

Pero claramente, $\Bbb Z/4\Bbb Z \not\cong \Bbb Z/2\Bbb Z \oplus \Bbb Z/ 2\Bbb Z$.

Es mi respuesta correcta? Si hay algún error, por favor señale.

Answer 1

El ejemplo es el sonido, pero el mapa debe ser escrito con más cuidado: usted desee $f(\bar{n})=\bar{n}$ o, mejor, $f(n+4\mathbb{Z})=n+2\mathbb{Z}$, lo $f(\bar{1})=\bar{1}$ e $f(\bar{2})=\bar{0}$.

El hecho de que $$ \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\no\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $$ es evidente por el hecho de $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ tiene un único máximo submódulo, mientras que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ tiene dos.

Otro ejemplo es la proyección canónica $\pi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, debido a $\mathbb{Q}$ es de torsión libre, mientras que el $\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ no lo es.

Por cierto, que la afirmación es verdadera para un anillo de $R$ si y sólo si $R$ es semisimple. En particular, $R$ sería (izquierda y derecha) artinian, por lo que cualquier nonartinian anillo proporciona un contraejemplo.