¿Hay algún error en mi planteamiento para la solución de $\int_0^{\pi/2} \frac{ \cos x}{3 \cos x + \sin x} \, dx$?

Question

Tuve que evaluar esta integral .

$$\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{3 \cos x + \sin x} \, dx$$

He aquí cómo se procedió

Dividiendo $N^r$ E $D^r$ por $\cos^3 x$

$$\int_0^{\pi/2} \frac{ \s^2 x}{3 \s^2 x + \tan x \s^2 x}\, dx \\ $$

Sustituyendo $\tan x = t$

$$\int_0^\infty \frac{ 1 }{(1+t^2)(t+3)} \, dt \\ $$

A continuación, mediante el uso de Fracciones Parciales , recibí la respuesta como

$$\frac{1}{10} \log (t+3) - \frac{1}{20} \log (t^2 + 1) + \frac{3}{10} \arctan (t) \biggr|_{0}^{\infty}$$

Pero mientras que la sustitución de los límites , la respuesta viene a ser infinito que está mal .

¿Hay algún error en mi enfoque ??

Answer 1

Un método sencillo para anular utilizando fracciones parciales e integrales impropias. Que <span class="math-container"> $$A=\int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{3 \cos x + \sin x} \, dx, B=\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{3 \cos x + \sin x} \, dx. $ $</span> claramente <span class="math-container">$$ 3A+B=\frac{\pi}{2}. \tag{1}</span> teniendo en cuenta <span class="math-container"> $$A=\int_0^{\pi/2} \frac{1}{3 \cos x + \sin x} \, d\sin x, B=-\int_0^{\pi/2} \frac{1}{3 \cos x + \sin x} \, d\cos x $ $</span> es fácil ver <span class="math-container">% $ de #% de #%</span> de (1) y (2), uno tiene <span class="math-container">$$ -3B+A=\int_0^{\pi/2} \frac{1}{3 \cos x + \sin x} \, d(3\cos x+\sin x)=\ln(3\cos x+\sin x)\bigg|_0^{\frac\pi2}=-\ln 3.\tag{2} </span>

Answer 2

<span class="math-container">$$\int_0^\infty \frac{ 1 }{(1+t^2)(t+3)} \, dt =\class{steps-node}{\cssId{steps-node-1}{\dfrac{1}{10}}}{\displaystyle\int_0^\infty}\dfrac{1}{t+3}\,\mathrm{d}t-\class{steps-node}{\cssId{steps-node-2}{\dfrac{1}{10}}}{\displaystyle\int0^\infty}\dfrac{t-3}{t^2+1}\,\mathrm{d}t\=\dfrac{\ln\left(\left|t+3\right|\right)}{10}-\dfrac{\ln\left(t^2+1\right)}{20}+\dfrac{3\arctan\left(t\right)}{10}\biggr|{0}^{\infty}\$$</span>

<span class="math-container"> $$= \frac1{20}\ln\frac{(t+3)^2}{1+t^2}+\dfrac{3\arctan\left(t\right)} {10} \biggr|_ {0} ^ {\infty}$$ </span>

<span class="math-container"> $$\lim_{t \to \infty}\frac1{20}\ln\frac{(t+3)^2}{1+t^2}=\frac 1 {20}\ln1=0$$ </span> <span class="math-container"> $$=0+\frac{3 \pi}{20}-\left(\frac{1}{20}\ln9+0\right)$$ </span>

<span class="math-container"> $$=\frac{3\pi-\ln9}{20}$$ </span>

Answer 3

En realidad, debería haber obtenido<span class="math-container">$$\int\frac1{(1+t^2)(t+3)}\,\mathrm dt=\frac3{10}\arctan(t)+\frac1{10}\log(3+t)-\frac1{20}\log(1+t^2).</span>ahora, tenga en cuenta que<span class="math-container">\begin{align}\frac1{10}\log(3+t)-\frac1{20}\log(1+t^2)&=\frac1{20}\left(\log\bigl((3+t)^2\bigr)-\log(1+t^2)\right)\&=\frac1{20}\log\left(\frac{(3+t)^2}{1+t^2}\right).\end {Alinee el}</span>