un ciclista recorre 30 km en una hora

Question

Un ciclista recorre 30 km en una hora

1) Demostrar que hay un intervalo de 10 minutos tal que el ciclista ha recorrido 5 Km.

2) ¿Existe siempre un intervalo de tiempo de 40 minutos durante el cual habrá recorrido 20 Km?

para la primera pregunta, eso es lo que hice : Observa f la función que representa la distancia recorrida por el ciclista en función del tiempo (expresado en minutos). $f$ es una función continua, $f (0) = 0$ y $f (60) = 30$ . Queremos demostrar que existe un intervalo de tiempo de 10 minutos tal que el ciclista ha recorrido 5 km. En otras palabras, queremos encontrar $x \in [0,50]$ tal que $f (x + 10) -f (x) = 5$ .

Supongamos que tal $x$ no existe. Por el teorema del valor intermedio, sabemos que o bien,

$\forall x [0,50]$ tenemos $f(x + 10) -f (x)> 5$ .

o, $\forall x [0,50]$ tenemos $f (x + 10) -f (x) <5$ .

En el primer caso, tenemos $f (60) = f (60) -f (50) + f (50) -f (40) + f (40) -f (30) + f (30) -f (20) + f (20 ) -f (10) + f (10)-f(0) > 6 × 5=30$ . lo cual es una contradicción. En el segundo caso, encontraríamos $f (60) <30$ , lo que también es una contradicción. Por tanto, la hipótesis formulada es falsa: existe $x [0,50]$ tal que $f (x + 10) -f (x) = 5$ .

Para la segunda pregunta, creo que la respuesta es no, pero no sé cómo demostrarlo.

¿Tiene alguna sugerencia?

Answer 1

Creo que he encontrado una respuesta para la segunda : si demostramos que hay un intervalo de tiempo de 40 minutos en el que recorrería menos de 20 km , está hecho .

Supongamos que el ciclista recorre 15 km en los primeros 10 minutos y luego se detiene durante 40 minutos y después recorre 15 km . En este caso ; si tomamos un intervalo de tiempo de 40 minutos

o contiene parte de los primeros 10 minutos, pero no incluye ninguna parte de los últimos 10 minutos, y en este caso la distancia recorrida es inferior a 15 km.

o contiene parte de los últimos 10 minutos, pero entonces no incluye ninguna parte de los primeros 10 minutos, y en este caso la distancia recorrida es inferior a 15 km.

o es el intervalo "central", y en este caso la distancia recorrida es cero. En cualquier caso, no podemos encontrar un intervalo de tiempo de 40 minutos durante el cual habrá recorrido 20 km.

Answer 2

No sé si esto ayuda o perjudica, pero estrictamente hablando, no se conoce la velocidad del ciclista en un momento determinado. El ciclista puede tener un "paquete mágico de cohetes" y recorrer todos los 30 km en 30 segundos, o podría tener paquetes de cohetes menores, o simplemente ráfagas de energía en general, que resulten en un ritmo de progreso desigual dentro del intervalo.

En todas estas situaciones, el caso 2) queda subsumido por el caso 1), y ambos son verdaderos.

Ahora bien, el caso degenerado, como es el caso, es un ritmo de avance uniforme de 0,5km/min. Es decir, no hay forma de avanzar durante una hora completa a un ritmo menor y seguir alcanzando la distancia de 30 km. (Si es así, el ciclista debe compensarlo con una ráfaga en algún otro intervalo). En el caso degenerado, 0,5km/min son 5km en diez minutos, y también 20km en 40 minutos.

Así que, en general, ambas afirmaciones son ciertas.