¿Tiene esta secuencia de polinomios un nombre?

Question

Estoy muy interesado en la función $$f : (0,\infty) \rightarrow (0,\infty)$$ $$x \mapsto - \log(1-e^{-x}).$$

Cuando uso Wolfram alpha para calcular el $n$ ón de las derivadas de $f$ encuentro que existe una secuencia de polinomios $P_1,P_2,\ldots$ tal que para $n \geq 1$ tenemos $$f^{(n)}(x) = \frac{e^x}{(1-e^x)^n}P_n(e^x).$$

Por ejemplo:

$$\frac{d^6}{dx^6}(-\log(1 - e^{-x})) = \frac{e^x}{(1-e^x)^6} (1+26 e^x + 66 e^{2 x} + 26 e^{3 x} + e^{4 x})$$

Pregunta. ¿Hay algún nombre para esta secuencia de polinomios?

Si estos polinomios no tienen nombre, también me conformaría con un nombre para la variante del triángulo de Pascal cuyas entradas son los coeficientes de estos polinomios.

Answer 1

Señor Tiburón el Desconocido está en lo cierto.

WA+P(e%5Ex))) nos dice que $$\frac{d}{dx}\frac{e^x}{(1-e^x)^n} P(e^x) = \frac{e^x}{(1-e^x)^{n+1}} Q(e^x)$$ donde $$Q(t)=(t-t^2)P'(t)+((n-1)t+1)P(t)$$ Por lo tanto, $$P_{n+1}(t)=(t-t^2)P_n'(t)+((n-1)t+1)P_n(t)$$ Desde $P_2=A_1$ tenemos $P_n=A_{n-1}$ , donde $A_n$ es el $n$ -en Polinomio euleriano .