¿Función holomorfa que decae más rápido que cualquier exponencial en un semiplano?

Question

Estoy teniendo problemas con la siguiente pregunta. Utilizaré la notación común $z=x+iy$ .

Es bien sabido que $f(z)=e^{-z}$ tiende a cero cuando $x$ tiende a $+\infty$ ya que $\vert f(z) \vert =e^{-x}$ . Por supuesto, lo mismo ocurre con la familia de funciones $f_{\lambda}(z)=e^{-\lambda z}$ donde $\lambda >0$ es un parámetro positivo. De hecho, si $\lambda$ es mayor, el decaimiento es más rápido.

Mi pregunta es si es posible encontrar un (no idénticamente cero) $\textbf{holomorphic}$ función (en el semiplano derecho) que decae más rápido que cualquier función $f_{\lambda}$ . En términos matemáticos, la cuestión es si podemos encontrar un $\textbf{holomorphic}$ función $g \neq 0$ (en el semiplano derecho) tal que para cualquier secuencia $x_n+i y_n$ tal que $x_n$ va a $+\infty$ tenemos que el límite $$g(x_n+iy_n) \cdot e^{\lambda (x_n + i y_n)}$$ tiende a cero para cualquier $\lambda >0$ . Informalmente, cuando vamos a la derecha en el plano complejo (ignorando si $y$ cambios o no) debemos decaer más rápido que cualquier exponencial.

Observación: Si $g$ no se requiere que sea holomorfa la respuesta es trivialmente "sí". Sólo hay que hacer $g(z)$ una función de sus partes reales (sólo dependiendo de $x$ ) de manera que en el intervalo $[n,n+1]$ $g$ decae como $e^{-n}$ .

Answer 1

Pensé que la respuesta debía ser afirmativa, pero, al menos si asumimos además que $f$ no tiene ningún cero, es no. (Me parece claro que permitir ceros no puede importar realmente, pero no he resuelto los detalles. En cualquier caso, esto demuestra que la forma obvia de construir un contraejemplo, poniendo $f=e^g$ donde $g$ es tal que lo que sea, no puede funcionar. También por ejemplo $1/\Gamma(z)$ no puede funcionar, aclarando la situación del ejemplo dado en otra respuesta).

Primero voy a hablar de la mitad superior del plano $\Pi^+$ en lugar del semiplano derecho, porque estoy más familiarizado con algunos tecnicismos en ese contexto.

Primero,

Podemos suponer que $|f(z)|<1$ para todos $z$ .

Porque si $f\in H(\Pi^+)$ y $f(x+iy)\to0$ super-exponencialmente como $y\to\infty$ entonces en particular existe $y_0>0$ para que $|f(x+iy)|<1$ para $y>y_0$ Ahora bien, si $g(z)=f(z+iy_0)$ entonces $|g|<1$ en $\Pi^+$ y también $g(x+iy)\to0$ super-exponencialmente.

Y ahora

Sorpresa Si $f\in H(\Pi^+)$ , $|f|<1$ y $f$ no tiene cero, entonces existe $\lambda>0$ tal que $|f(iy)|\ge e^{-\lambda y}$ para todos $y>1$ .

Prueba: Tenemos $f=e^{-(u+iv)}$ donde $u$ y $v$ son funciones armónicas de valor real y $u>0$ .

Ahora es muy conocido que una función armónica positiva en el disco unitario es la integral de Poisson de una medida en la frontera. Basta un mapeo conforme para derivar el hecho correspondiente, quizás menos conocido, para el semiplano superior:

Lema Si $u>0$ es armónico en $\Pi^+$ entonces existe una constante $A\ge0$ y una medida (regular de Borel) $\mu$ en $\Bbb R$ tal que $\int\frac{d\mu(t)}{t^2+1}<\infty$ y $u(x+iy)=Ay+\int\frac{y\,d\mu(t)}{(x-t)^2+y^2}$ .

Si $y>1$ entonces $\frac{y}{y^2+t^2}<\frac{y}{1+t^2}$ Por lo tanto $$u(iy)\le\lambda y\quad(y>1),$$ donde $$\lambda=A+\int\frac{d\mu(t)}{t^2+1}.$$

Comentario sobre la eliminación de la suposición de que $f$ no tiene cero: Si $|f|<1$ pero no asumimos $f$ no tiene cero, entonces $f=gB$ , donde $|g|<1$ , $g$ no tiene cero, y $B$ es un producto de Blaschke. Dado que $|g(iy)|\ge e^{-\lambda y}$ para $y>1$ sólo tenemos que demostrar que $B(iy)$ no puede desaparecer super-exponencialmente. Esto me parece bastante claro, pero los detalles pueden ser un poco quisquillosos; primero tenemos que averiguar cómo es exactamente un producto de Blaschke en $\Pi^+$ .