Yo estaba haciendo un poco de práctica problemas con el implícito de la diferenciación y de la regla de la cadena. Esto es algo que he sabido cómo hacerlo, pero no entiendo por qué funciona. Aquí está una captura de pantalla de la derivada de $y^2$ con respecto al $x$:
Donde hace exactamente el $\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}$ ? ¿Por qué se hace exactamente $dy$ estancia en el numerador; ¿por qué es el término final $\frac{dy}{dx}[2y]$ e no $\frac{d}{dx}[2x]$?
Si quieres ver por qué esto funciona fundamentalmente, podemos obtenerlo a partir de la definición de derivados.
$$ lim_{h\to0} \frac{f(x+h)^2 - f(x)^2}{h} = lim_{h\to0} \frac {f(x+h) - f(x))}{h}(f(x+h)+f(x)) $$
El primer término hace $f'(x)$ y el segundo término se convierte en $2f(x)$. Por lo que el límite es $2f'(x)f(x)$. Si $y=f(x)$, puede convertir esta a la notación de Leibniz para obtener $\frac{dy}{dx}[2y]$.
Podría ser más fácil de entender con la notación "prime" en lugar de la notación Leibniz.
La regla de la cadena dice que $(f\circ g)' = (f' \circ g)\times g'$ . En su caso, $y(x) = g(x)$ y $f(x) = x^2$ . Desea encontrar el derivado de $f\bigl(g(x)\bigr)$ , que, según la regla de la cadena, es $g'(x) f'(g(x))$ , o $y'(x) \times 2g(x)$
El término $\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}$ proviene de la regla de la cadena. Puesto que usted quiere diferenciar con respecto a $x$ pero su función es interms de $y$, por la regla de la cadena primero a diferenciar su función con respecto a $y$ y luego se multiplica por el derivado de $y$ con respecto a x. La notación $\frac{d}{dx}$ es algo bueno, ya que puede ser visto como estás haciendo algún tipo de multiplicación por $1$ $$\frac{dy^2}{dx}=\frac{dy^2}{dx}\cdot 1=\frac{dy^2}{dx}\frac{dy}{dy}=\frac{dy^2}{dy}\frac{dy}{dx}=2y\frac{dy}{dx}.$$
Aunque traté $\frac{d}{dx}$ como fracciones ,$\frac{d}{dx}$ no es realmente una fracción, pero resulta que funciona como una fracción cuando se aplica la regla de la cadena.
Supongamos que queremos añadir un infinitesimal a $x$: $x_1=x_0+\Delta x$. Lo que sucede a $y$? Por definición, la derivada nos dice lo mucho que la función de los cambios en relación a los cambios en su entrada: el cambio de una función es igual al cambio en sus tiempos de entrada de sus derivados (por infinitesimal cambios en la entrada). Que es, $\frac{dy}{dx}$ representa la relación entre el cambio infinitesimal en $y$ y el cambio infinitesimal en $x$: el cambio en el $y$ dividido por el cambio en $x$ es $\frac{dy}{dx}$:
$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}$
Esto puede ser reescrita como $\Delta y=\frac{dy}{dx}{\Delta x}$. En otras palabras, el cambio en una variable es igual a la derivada con respecto a otra variable, a veces el cambio en la variable. Esto, básicamente, de la $d=rt$ ecuación, excepto más general.
El cambio en la variable final menos inicial: $\Delta y = y_1-y_0$. La reescritura, $y_1=y_0+\Delta y$. Sustituyendo en la $\Delta y$: $y_1=y_0+\frac{dy}{dx} \Delta x$. Por lo tanto, tenemos $y_1^2=(y_0+\frac{dy}{dx} \Delta x)^2=y_0^2+2y_0\frac{dy}{dx} \Delta x+(\frac{dy}{dx} \Delta x)^2$. Cuando nos cuadrado de un infinitesimal, obtenemos cero (una más técnica sería un análisis más preciso de esto, pero esto es suficiente para los fines actuales). Por lo $y_1=y_0^2+2y_0\frac{dy}{dx} \Delta x$, y el cambio en $y$ es lo $2y_0\frac{dy}{dx} \Delta x$. Si decimos $g(y)=y^2$, entonces tenemos que $\Delta g=2y_0\frac{dy}{dx} \Delta x$o $\frac{\Delta g}{\Delta x}=2y_0\frac{dy}{dx}$.
Una cosa a tener en cuenta con la notación de Leibniz (es decir, el $\frac{dy}{dx}$ notation) es que son derivados de escribir como fracciones, y nos puede manipular de acuerdo con muchas de las reglas de fracciones (por ejemplo, se anulan los términos semejantes en el numerador y el denominador), pero no son "realmente" fracciones. Como Ovi dice, usando el primer notación nos permite evitar este problema, pero el problema es que cuando se utiliza la regla de la cadena, es crucial para mantener un seguimiento de lo que está tomando la derivada con respecto aque el primer notación no es bueno en la muestra. También se podrían escribir las cosas en términos de la notación de subíndice; $y_x$ en lugar de $\frac{dy}{dx}$. Este tiene sus propios problemas, pero usted puede reemplazar todas las instancias de $\frac{dy}{dx}$ con $y_x$ y ver si se trata de un claro para usted.
Como un ejemplo concreto, supongamos que te pagan una cierta cantidad de dinero por cada caja que hacer. Su salario por hora será la tasa por caja, multiplicado por el número de cajas por hora:
(dinero/hora) = (dinero/caja)(cuadro/hora)
Supongamos que pagan más dinero por caja la más casillas de hacer: el pago final es el número de cajas cuadradas. Ahora, suponga que desea saber su instantánea salario por hora. Así que te pregunto: si yo fuera a trabajar un segundo más, ¿cuánto sería mi pago total aumento? Para llegar a su salario por hora, entonces usted tiene que multiplicar por 3600. Así, vamos a trabajar a través de este (vamos a suponer que usted puede conseguir pagado para las fracciones de los cuadros).
Usted tiene algunos tasa a la cual usted puede hacer las cajas. Vamos a llamar a ese $b$. Esta tasa puede cambiar; tal vez a medida que pasa el día se cansa y no puede hacer cajas tan rápidamente. Esto no importa; sólo estamos preocupados con lo $b$ es igual en este momento en particular. Si usted trabaja un segundo más, se hará $\frac b{3600}$ más cajas ($b$ es cuántas cajas puede hacer por hora). Supongamos que el número de cajas que he hecho ya es $B$. Luego, después de un segundo más, tendrás $B+\frac b{3600}$ cajas. Su pago será que el cuadrado de: $(B+\frac b{3600})^2=B^2+2B\frac b{3600}+(\frac b{3600})^2$. Ya has hecho $B^2$, por lo que la cantidad adicional que usted hizo de trabajo de que el segundo es $2B\frac b{3600}+(\frac b{3600})^2$. Cuando se multiplica por 3600 para obtener su tarifa por hora, llegamos $2Bb+\frac {b^2}{3600}$. Tenga en cuenta que si en vez de mirar a la cantidad de su pago aumento de más de un segundo, se fueron a tomar más y más pequeños intervalos de tiempo, el primer término de la estancia en el mismo, pero el segundo término se hacen más pequeños y más pequeños (en lugar de 3600 en el denominador, tendríamos más y más números). Así que podemos tomar la instantánea aumento en el pago a los ser $2Bb$. El $2B$ parte proviene del hecho de que el pago total $B^2$, y la derivada de con respecto al $B$ es $2B$. A continuación, multiplicamos eso por la derivada de la $B$ con respecto al tiempo, que es $b$. Así:
derivado de pago con respecto al tiempo =
(derivado de pago con respecto a las cajas) * (derivado de las cajas con respecto al tiempo)
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
