Metrizability de convergencia débil por el métrico Lipschitz acotada

Question

Por qué es la convergencia débil de medidas de probabilidad en $\mathbb{R}$ con respecto a la prueba continua limitada funciones $C^0b(\mathbb{R})$ metrizable en la acotada $$d(\mu, \nu) = \sup{f \in \text{Lip}(\mathbb{R})} \Big | \int{\mathbb{R}} f d \nu - \int{\mathbb{R}} f d \mu \Big |$$ where $$\text{Lip}(\mathbb{R}) = \Big { f \in C_b(\mathbb{R}) : \supx |f(x) | \leq 1, \sup{x \neq y} \frac{| f(x) - f(y) |}{|x-y|} \leq 1 \Big }?$$ For those who would like a reference, this is invoked in the proof of the truncated version of Wigner's semicircle law in Anderson-Guionnet-Zeitouni's $\textit{Introduction métrico Lipschitz para Matrices al azar} $ y es citado en el apéndice como parte de Teorema C.8, aunque ninguna prueba es dada allí. Si alguien me pudiera ayudar con este hecho, te lo agradeceria mucho!

Answer 1

Hay una prueba en la sección 8.3 de de Bogachev Teoría de la medida.