¿Existen functores fieles $ \mathrm {Grp} \rightarrow \mathrm {Set}$ que no son naturalmente isomórficos para el functor del conjunto subyacente?

Question

Estoy tratando de conseguir algo de intuición para la noción de isomorfismo natural .

Con ese fin, mi pregunta es: ¿existen functores fieles $ \mathrm {Grp} \rightarrow \mathrm {Set}$ que no son naturalmente isomórficos para el functor del conjunto subyacente?

Gracias.

Answer 1

Claro, el functor $F(G) = G\cup \{*\}$ (set subyacente más un punto extra). Para $\phi: G\to H$ Toma $F(\phi):G\cup \{*\}\to H\cup\{*\}$ definido por $F(\phi)(g) = \phi(g)$ para $g\in G$ et $F(\phi)(*) = *$ .

En términos más generales, tomemos cualquier functor fiel $\text{Set}\to \text{Set}$ que no sea isomorfo a la identidad y componerlo con el functor de conjuntos subyacente.