Suma de la serie general

Question

Uno de los problemas de Donald Knuth del Arte de la Programación es formulada de la siguiente manera:

Encontrar y probar una simple fórmula para la suma de $\sum\limits_{n=0}^k\frac{(-1)^n(2n+1)^3}{(2n+1)^4+4}$

Tengo muy poca experiencia con sumatorias. Mi método para tratar de encontrar alguna función tal que

$\frac{(-1)^n(2n+1)^3}{(2n+1)^4+4}=f(x)-f(x-1)$

Sin embargo, no tengo idea de cómo hacerlo de forma sistemática. Afortunadamente, fracción parcial de la descomposición ocurre a dar una función en esa forma, con

$f(x)=\frac{(-1)^x(x+1)}{4(x+1)^2+1}$

cual es la solución en la parte de atrás del libro. Me preguntaba cómo se podría ir sobre la búsqueda de esta solución. Este problema específico es el volumen 1, capítulo 1.2.1, el problema 11.

Answer 1

Por los residuos de $\frac{x^3}{x^4+4}$ $x=\pm 1\pm i$ de computación tenemos: $$\frac{x^3}{x^4+4}=\frac{1}{2}\left(\frac{x-1}{(x-1)^2+1}+\frac{x+1}{(x+1)^2+1}\right)\tag{1}$ $ por lo tanto: $$\begin{eqnarray}\sum{n=0}^{k}\frac{(-1)^n(2n+1)^3}{(2n+1)^4+4}&=&\frac{1}{2}\sum{n=0}^{k}(-1)^n\left(\frac{2n}{4n^2+1}+\frac{2(n+1)}{4(n+1)^2+1}\right)\&=&\frac{(-1)^k\cdot(k+1)}{4(k+1)^2+1}.\end{eqnarray}$ $

Answer 2

Desde $ x^4+4=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x), $$ tenemos $$ f(x)=\frac{x^3}{x^4+4}=\frac{1}{4}\frac{(x^2+2-2x+x^2+2+2x)^2}{(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)}. $$ % Que $a(x)=4x^2+1$. Entonces $ 4f(2n+1)=\frac{(a(n)+a(n+1))^3}{a(n)a(n+1)}=\frac{a(n)^2}{a(n+1)}+\frac{a(n+1)^2}{a(n)}+3(a(n)+a(n+1)). $$ Por lo tanto $$ \sum (-1) ^ nf(2n+1) = \sum (-1) ^ n\left\ {\right\ \frac{a(n)^2}{a(n+1)}+\frac{a(n+1)^2}{a(n)}+3(a(n)+a(n+1))} $$ como allí es otra respuesta apareció, debo dejar aquí. Reorganización de la suma, uno puede acabar.