Relación entre $\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}}{1+x^2}\,\,dx$ y $\int_0^{\infty} \frac{e^{-2ax}}{1+x^2}\,\,dx$

Question

Supongamos que $a > 1$ . Quiero comparar $$\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}}{1+x^2}\,\,dx$$ y $$\int_0^{\infty} \frac{e^{-2ax}}{1+x^2}\,\,dx$$

Mi instinto me sugiere que a partir de un determinado valor de $a$ , $$\int_0^{\infty} \frac{e^{-2ax}}{1+x^2}\,\,dx < e^{-a}\int_0^{\infty} \frac{e^{-ax}}{1+x^2}\,\,dx$$

pero no puedo probarlo. ¿Es ésta una intuición correcta, y si es así, cuál sería el método para demostrarlo?

Answer 1

Se puede demostrar que su integral se comporta como $1/a$ como $a\to\infty$ . En particular, la integral no decae exponencialmente, y tu afirmación no se sostiene.

Podemos utilizar la sustitución $y=ax $ para reescribir la integral: $$\int_0^\infty \frac {e^{-ax}}{1+x^2}dx= \int_0^\infty \frac {a e^{-y}}{a^2+y^2}dy.$$

Entonces podemos utilizar el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue para calcular $$\lim_{a\to\infty}a\int_0^\infty \frac {e^{-ax}}{1+x^2}dx= \lim_{a\to\infty} \int_0^\infty \frac {a^2 e^{-y}}{a^2+y^2}dy= \int_0^\infty e^{-y}dy=1. $$

Esto muestra $$ \int_0^\infty \frac {e^{-ax}}{1+x^2}dx\sim a^{-1}$$ como $a\to\infty $ .

Answer 2

Tenga en cuenta que para $a>0$ y $x \geq 1$ tenemos $$ e^{-2ax} = e^{-ax}e^{-ax} \leq e^{-a}e^{-ax} $$ Así, tenemos $$ \int_1^\infty \frac{e^{-2ax}}{1+x^2} \leq e^{-a}\int_1^\infty \frac{e^{-ax}}{1+x^2} $$ Quizás esto sea suficiente para sus propósitos.

Answer 3

Creo que esto no es cierto. Por ejemplo, dejemos que $a=2$ . Entonces $$ \int_0^\infty\frac{e^{-4x}}{1+x^2}dx\approx 0.229193> e^{-2}\int_0^\infty\frac{e^{-2x}}{1+x^2}dx\approx 0.0540016. $$