Números de Lucas y Matrices

Question

¿Existe una matriz de $2 \times 2$ que puede elevar a cualquier potencia para obtener los números de Lucas? Si es así, ¿qué es esa matriz? Me he buscado en este sitio web y otros sitios y no soy capaz de encontrar la solución.

Answer 1

El uso de la misma matriz que se iba a utilizar para los números de Fibonacci, a continuación, aplicar a el estado inicial del vector de números de Lucas. La matriz de captura de la relación de recurrencia. Así, el mismo de la recurrencia de la relación, de la misma matriz. Las diferencias entre los números de Lucas y los números de Fibonacci se encuentra en su totalidad en los valores iniciales, que no entran en la matriz, sino más bien un estado inicial del vector de aplicar la matriz.

El uso de una opción para la orientación de los vectores: $$\begin{bmatrix}L_{n}\\L_{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}L_0\\L_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}$$

Si usted está usando los poderes de $\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{bmatrix}$ a identificar los números de Fibonacci, entonces tal vez usted no está pensando en el método de la mejor manera. $$\begin{bmatrix}F_{n}\\F_{n+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}F_0\\F_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$$ sucede solo tienes que elegir la segunda columna de $\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{bmatrix}^n$, por lo que hay algunos engañosa coincidencia ahí que hace las entradas de $\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 1\end{bmatrix}^n$ ser números de Fibonacci.

Answer 2

El número de Lucas $L_n$ es $\text{tr} \left[ \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]^n$.

Answer 3

Sea $ $$Q=\pmatrix{1&1\1&0}\;,$$ so that $$\pmatrix{F_{n+1}&F_n\Fn&F{n-1}}=Q^n$$ for $n\ge 0. No sé que se puede encontrar una matriz que hace exactamente lo mismo para los números de Lucas, pero es cierto que

$$\pmatrix{L_{n+1}&L_n\Ln&L{n-1}}=Q^n\pmatrix{1&2\2&-1}\;.$$

Otra matriz que no está bien lo que quieres es $$Q_L=\pmatrix{3&1\1&2}\;,$ $ desde

$$ QL ^ n =\begin{cases} 5^{n/2}\pmatrix{F{n+1}&F_n\Fn&F{n-1}},&\text{if }n\text{ is even}\\ 5^{(n-1)/2}\pmatrix{L_{n+1}&L_n\Ln&L{n-1}},&\text{if }n\text{ is odd} \end{casos} $$

$n\ge 1$. (Este último resultado es tomado de este artículo).