Expectativa del supremum

Question

Que $x(t)$ un proceso estocástico real valor y $T>0$ una constante. Es cierto que:

$\mathbb{E}[\displaystyle{\sup{t\in [0,T]}} |x(t)|] \leq T \displaystyle{\sup{t\in [0,T]}}\mathbb{E}[|x(t)|]$ ?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Elaboración en el comentario de Zhen, considerar a $x(t) = 1$ a.s. % todo $t$y $T = 0.5$

Answer 2

Otra manera de mirar Zhen comentario:

Si $x(t)$ se mide en pulgadas y $T$ en segundos, entonces el lado izquierdo sería en pulgadas, mientras que el lado derecho sería en cuestión de segundos tiempos pulgadas. Así que si queremos cambiar las unidades de tiempo de segundos a eones, el valor numérico de la derecha se hace más pequeño, pero que en la izquierda no. El valor numérico de la derecha puede hacerse tan cerca de $0$ como se desee, haciendo que las unidades de tiempo lo suficientemente grande, mientras que en la izquierda permanece fija en un número positivo.