¿Es un morfismo adecuado entre sistemas proyectivos proyectivo?

Question

Eso es si $f :P^n {X} \rightarrow P^m{Y}$ es un morfismo adecuado, entonces es un proyectivo. Proyectivo significa que factores a través de un esquema proyectivo de la pasada legislatura y el primer componente está una inmersión cerrada.

Answer 1

Que $f:X\to Y$ ser un morfismo (no necesariamente correcto) de esquemas proyectivos sobre un campo $k$ (el mismo funciona sobre un esquema $S$). Entonces $f$ es proyectivo.

Prueba: $X\subseteq \mathbb{P}^n_k$ (inmersión cerrada) $n$. Entonces considerar el % de inmersión cerrada $X\subseteq X\times_k Y$en la gráfica, que es un subsistema cerrado de $\mathbb{P}^n_k\times_kY=\mathbb{P}^n_Y$ (aquí estoy utilizando que proyectiva morfismos son correctas, que es una aplicación estándar del criterio homológicos de probidad). Esto da la factorización requerido $X\to \mathbb{P}^n_Y\to Y$.