Por supuesto, existe una clasificación completa para las álgebras de Lie complejas simples. ¿Existe una buena referencia que enumere el grupo de automorfismos externos de cada una?
Respuestas
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La proposición D.40 de Fulton y Harris Teoría de la representación afirma el comentario de Emerton: el grupo de automorfismos exteriores de un álgebra de Lie simple es precisamente el grupo de automorfismos gráficos del diagrama de Dynkin asociado. También hay alguna discusión sobre esto en la Sección 16.5 del libro de Humphrey Introducción a las álgebras de Lie y a la teoría de representaciones .
Así que para $A_n$ y $n>1$ existe un automorfismo de orden 2 que para $sl_{n+1}$ equivale a una transposición negativa.
Los tipos B y C no tienen automorfismos externos.
Para $D_n$ existe un automorfismo de orden dos que intercambia los dos puntos extremos, lo que corresponde a intercambiar las dos representaciones de espín. En $so_{2n}$ se obtiene (modulo los automorfismos internos) conjugando por una matriz ortogonal en $O(2n)$ que tiene determinante $-1$ . Para $n=4$ también existe un automorfismo de orden 3. Esto es trialidad, y se discute en la Sección 20.3 de Fulton y Harris.
Para $E_6$ existe un automorfismo de orden 2, aunque no sé lo suficiente sobre las álgebras de Lie excepcionales como para decir algo útil al respecto. Pero puedes encontrar una discusión del grupo de automorfismo en la Sección 7 del libro de Jacobson Álgebras de Lie excepcionales donde se describe mediante álgebras de Jordan.
Para las otras 4 álgebras de Lie excepcionales no existen automorfismos externos.
Jon Galloway
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No tengo una buena referencia, pero puedo darte el principio de la respuesta. Trabajaré justo sobre $\mathbb C$ y llamaré a mi álgebra de Lie simple $\mathfrak g$ .
En primer lugar, debes decidir qué entiendes por "automorfismo exterior". Sabemos lo que es un automorfismo, y un "automorfismo interior" debería ser la conjugación por algo. Por supuesto, para $x\in \mathfrak g$ el soporte $\text{ad}_x = [x,-] \in \mathfrak{gl}(\mathfrak g)$ es una derivación de $\mathfrak g$ no es un automorfismo. Así que supongo que te refieres al automorfismo $\exp(\text{ad}_x) \in {\rm GL}(\mathfrak g)$ como el automorfismo interior. Ahora, el conjunto de matrices de la forma $\exp(\text{ad}_x)$ no es un grupo, sino que genera un grupo conexo, que llamaré $\text{Inn}(\mathfrak g)$ . (Observación: cualquier automorfismo de $\mathfrak g$ preserva la forma Killing, por lo que realmente tenemos $\text\{Inn\}(\mathfrak g) \subseteq \text{Aut}(\mathfrak g) \subseteq \{\rm SO\}(\mathfrak g)$ .) Por supuesto, $\mathfrak g$ actúa sobre sí misma fielmente ya que es simple, por lo que $\text{Lie}\bigl(\text{Inn}(\mathfrak g)\bigr) = \mathfrak g$ pero $\text{Inn}(\mathfrak g)$ pueden no estar simplemente conectados. En cualquier caso, es un cociente del grupo simple conexo simplemente conexo $G$ con álgebra de Lie $\mathfrak g$ por lo que, si se prefiere, se puede considerar que los automorfismos internos vienen dados por la acción adjunta de $G$ .
Ahora, durante $\mathbb C$ (y esto requiere datos sobre la topología de $\mathbb C$ ), dos opciones cualesquiera de la subálgebra de Cartan son conjugadas por un elemento de $\text{Inn}(\mathfrak g)$ . Véase, por ejemplo, la Proposición 5.32 de mis notas sobre la clase de M. Haiman . Por lo tanto, para comprender $\text{Out}(\mathfrak g) = \text{Aut}(\mathfrak g) / \text{Inn}(\mathfrak g)$ basta con entender cómo actúa cualquier subálgebra de Cartan elegida $\mathfrak h$ .
Cualquier automorfismo de $\mathfrak g$ que fija $\mathfrak h$ debe actuar sobre la red de raíces, y debe llevar algún sistema de raíces positivas a algún sistema de raíces positivas. Ahora bien, dos sistemas cualesquiera de raíces positivas están relacionados por el grupo de Weyl $W \subseteq {\rm GL}(\mathfrak h^\*)$ . (Proposición 5.60 de mis notas.) Por otra parte, tenemos $W = \mathcal N_G(H)/H$ el normalizador del toro maximal $H = \exp \mathfrak h$ en $G$ modulo $H$ que actúa trivialmente sobre $\mathfrak h$ . Así que $W$ actúa sobre $\mathfrak h$ por automorfismos internos, de hecho por $\mathcal N_G(H) \subseteq G$ .
Un sistema de raíces positivas extrae una matriz de Cartan y el correspondiente diagrama de Dynkin, y a la inversa, a partir de esta matriz se puede reconstruir el grupo. Por lo tanto, la única fuente posible de automorfismos externos de provienen de automorfismos del diagrama de Dynkin.
Así que tu pregunta se deduce simplemente de mirar los diagramas de Dynkin. En particular, $A_1$ El $B$ y $C$ y los grupos excepcionales $G_2,F_4,E_7,E_8$ no tienen automorfismos externos. Para los demás, hay que hacer un cálculo. Quizá sea obvio, pero es tarde; lo pensaré. Como otros señalaron en el tiempo que tardé en escribir esta respuesta, el teorema es que los automorfismos del diagrama de Dynkin son todos exteriores. En realidad, quizá esto sea obvio. Si un automorfismo del diagrama de Dynkin fuera interior, entonces induciría, entre otras cosas, un automorfismo de $H$ y así estar en el grupo de Weyl, y debes convencerte de que los elementos no triviales del grupo de Weyl no preservan el sistema de raíces positivas. Pero esto es esencialmente las afirmaciones de que $W$ actúa fielmente en $H$ y que cada $W$ -órbita interseca la cámara de Weyl positiva sólo una vez. Así que estoy utilizando el hecho de que $W = \mathcal N_G(H)/H$ que ahora mismo no sé cómo demostrar.
Nótese que para los semisímbolos, el Dynkin puede estar desconectado, y claramente cualquier automorfismo interno preserva las componentes conectadas. Por tanto, sin duda existen automorfismos externos para $\mathfrak g^{\times n}$ dado por el $S_n$ que permuta las piezas.
Fostah
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Aut( \g ) es el producto semidirecto de Inn( \g ) y Out( \g ) en el caso complejo Y en el caso real. Sin embargo, se trata de un resultado bastante reciente: tinyurl.com/68748hn
Editado por jc : El enlace lleva a un resumen en PDF de:
Resumen: Sea $\frak g$ sea un álgebra de Lie simple de dimensión finita sobre $\mathbb K \in \left\{\mathbb R,\mathbb C\right\\}$ y $\mathop{\rm Aut}(\frak g)$ el grupo de Lie de dimensión finita de sus automorfismos. Calcularemos el grupo componente $\pi_0(\mathop{\rm Aut}(\frak g)) = \mathop{\rm Aut}(\frak g)/\mathop{\rm Aut}(\frak g)_0$ y el número de sus clases de conjugación, y demostraremos que la secuencia exacta corta correspondiente $$ {\bf1}\to\mathop{\rm Aut}(\frak g)_0\to\mathop{\rm Aut}(\frak g)\to\pi_0(\mathop{\rm Aut}(\frak g))\to{\bf1} $$ es divisible o, lo que es lo mismo, existe un isomorfismo $\mathop{\rm Aut}(\frak g)\cong \mathop{\rm Aut}(\frak g)_0 \rtimes\pi_0(\mathop{\rm Aut}(\frak g))$ . En efecto, puesto que $\mathop{\rm Aut}(\frak g)_0$ está abierto en $\mathop{\rm Aut}(\frak g)$ el grupo cociente $\pi_0(\mathop{\rm Aut}(\frak g))$ es discreta. Por lo tanto, una sección $\pi_0(\mathop{\rm Aut}(\frak g))\to\mathop{\rm Aut}(\frak g)$ es automáticamente continua, dando lugar a un isomorfismo de grupos de Lie $\mathop{\rm Aut}(\frak g)\cong\mathop{\rm Aut}(\frak g)_0 \rtimes\pi_0(\mathop{\rm Aut}(\frak g))$ .
Paul
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En la característica 2, $B_2$ y $F_4$ tienen cada uno un automorfismo exterior, y en la característica 3, también lo tiene $G_2$ . Esto es relevante cuando se quiere construir los grupos Chevalley retorcidos, que utilizan un grupo Chevalley sobre un campo finito, y toman los invariantes bajo un automorfismo de campo por un automorfismo exterior.
