Demostrar que $\int_0^{\infty}\left(\frac{\log (1+x)}{x}\right)^2dx$ converge.

Question

Demostrar que $\int_0^{\infty}\left(\frac{\log (1+x)}{x}\right)^2dx$ converge.

No sé por dónde empezar, ¿quizá por mostrar que está delimitado por algo? Este es un ejercicio que estoy haciendo para repasar cálculo.

Answer 1

Hay problemas potenciales cerca de $0$ y también para grandes $x$ . Resulta útil descomponer la integral en la integral de $0$ a (decir) $1$ y de $1$ a $\infty$ . Si cada integral converge, nuestra integral lo hace.

En $0$ a $1$ : Observamos el comportamiento de $\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)^2$ por positivo $x$ cerca de $x=0$ .

Por la regla de L'Hospital, tenemos $\lim_{t\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ . Así que, apariencias al contrario, nuestra función se comporta muy bien cerca de $x=0$ . Si lo definimos como $0$ en $x=0$ es continua. Por tanto, la integral de $0$ a $1$ converge.

En $1$ a $\infty$ : Reescribamos nuestra función como $\frac{1}{x^{3/2}}\frac{\ln(1+x)}{x^{1/2}}$ .

Utilizando la regla de L'Hospital, podemos demostrar que $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(1+x)}{x^{1/2}} =0$ .

Por lo tanto, para $x$ , $\frac{\ln(1+x)}{x^{1/2}}\le 1$ . De ello se deduce que para un tamaño suficientemente grande $x$ nuestra función es $\lt \frac{1}{x^{3/2}}$ . Por Comparación, la integral de $1$ a $\infty$ converge.