¿Es una matriz de proyector la inversa de sí misma?

Question

Quiero confirmar si una matriz de proyector es su propia inversa. Tengo$x=Px$ y$Px=P^2x$, por lo que, antes de multiplicar la segunda ecuación con$P^{-1}$ dos veces, obtengo$P^{-1}x=Px$ para todo x, lo que implica$P^{-1}=P$. ¿Es correcto este razonamiento?

Entonces, ¿todas las matrices de proyección son ortogonales también?

Answer 1

No, este razonamiento no es correcto porque se supone que la matriz de proyección tiene una inversa sin probarlo. De hecho, una matriz de proyección es un buen ejemplo de una matriz que no tiene una inversa: parte del vector que se aplica se proyecta hacia fuera, y no hay manera para reconstruir esa parte.

Answer 2

Proyector matrices son idempotenty como regla general, no necesitan tener un inverso en todo (ya que generalmente tendrá un no trivial nullspace). $P$ A su propia inversa, necesitamos $P^2=I$. Desde $P^2=P$ para cualquier matriz de proyector, entonces la matriz único proyector que es su propio inverso es la identidad (que podemos pensar como el proyector trivial de un espacio en sí mismo).

Answer 3

Si por "matriz de proyector" te refieres a la matriz de proyección sobre un subespacio (adecuada), el rango de dicha matriz será la dimensión de ese subespacio, que es menos que el número de columnas. Así el nullspace es no trivial, la matriz no es inversible.