Si $G$ es un grupo finitamente generado digamos por $x_1,\ldots,x_n$ entonces $G$ es abeliano si $x_i$ y $x_j$ viaje de ida y vuelta por cada $i,j$ . Con esta medida podemos comprobar si $G$ es abeliana con sólo mirar los generadores.
¿Existe una condición similar que permita comprobar que el grupo es soluble o nilpotente mirando sólo los generadores?
Como ha mencionado Derek, puede comprobar si $G$ es $k$ -nilpotente mediante la comprobación de alguna familia finita de relaciones (explícitas y dependientes de $k$ ) en los generadores.
Esto no se puede hacer en el caso soluble, porque si se toma el grupo metabeliano libre sobre 2 generadores, no está finitamente presentado y además no es cociente de ningún grupo soluble finitamente presentado. Por lo tanto, no se puede probar la solvencia de 2 pasos de esta manera.
Por otra parte, incluso el caso nilpotente tiene una respuesta negativa si nos atenemos a los pares de generadores. En efecto, si se toma un diagrama de Coxeter finito con todas las aristas etiquetadas por alguna potencia de 2, fuera de una pequeña lista finita de excepciones, (por ejemplo se puede tomar el gráfico completo de 4 vértices, estando todas las aristas etiquetadas por 4), entonces el grupo de Coxeter resultante $W$ tiene la propiedad de que dos generadores cualesquiera generan un grupo nilpotente (algún grupo diédrico de 2), mientras que $W$ no es soluble (contiene un subgrupo libre no abeliano).
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