Anillo conmutativo con un ideal que contiene todas las no-unidades.

Question

¿Hay un ejemplo de un anillo conmutativo con un ideal que contenga todas las no unidades?

Estaba tratando de pensar en algunos subgrupos de$\mathbb Q$, pero no pude hacerlo funcionar.

Answer 1

Toma el anillo$R$ de$2 \times 2$ matrices$A = [a_{ij}]$ con$a_{11} = a_{22}$ y$a_{21} = 0$ sobre un campo$F,$ y deja que$I$ sea el ideal que consiste en esas matrices en$R$ con$a_{11} = a_{22} = 0.$

Answer 2

Tome$R=\mathbb Z / 9 \mathbb Z$ y$I=3R$. Luego$I=\{0, 3, 6\}$, que son exactamente las no unidades.

Más en general,$R=\mathbb Z / p^2 \mathbb Z$ y$I=pR$, donde$p$ es primo.