Pregunta:
Dada una teoría cuántica especificado con una de Lagrange y los grados de libertad para ser variado, ¿cuál es el procedimiento para determinar si la teoría es unitaria o no?Ejemplo concreto para ayudar a la discusión:
(Tomado de la discusión de algunos modelos simples en este Phys.SE post, con la ruta de acceso #2 sin imponer condición E para obtener un no-unitaria de la teoría.)Comience con una de Lagrange para algunos complejo campo escalar. $$\mathcal{L}=\partial^\mu \phi^* \partial_\mu \phi -m^2 \phi^* \phi -\lambda (\phi^* \phi)^2$$
Es este unitaria? Cómo puede ser comprobada y verificada?
Ahora, escribe el complejo campo con dos componentes reales $\phi = \phi_1 + i \phi_2$. El Lagrangiano es entonces $$\mathcal{L}= \left(\partial^\mu \phi_1 \partial_\mu \phi_1 -m^2 (\phi_1)^2 -\lambda (\phi_1)^4 \right) -2\lambda (\phi_1)^2(\phi_2)^2 +\left( \partial^\mu \phi_2 \partial_\mu \phi_2 - m^2 (\phi_2)^2 -\lambda (\phi_2)^4 \right)$$
Ahora complejizar los campos (deje $\phi_1$ $\phi_2$ ahora ser complejo valorado), y no imponer $${\rm Im}(\phi_1)~=~0~=~{\rm Im}(\phi_2).$$ De la discusión anterior, esta nueva teoría no será unitaria.
¿Qué procedimiento se puede ir a través de a partir de este Lagrangiano para mostrar que esto ya no es unitario?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Me gustaría comprobar si el Hamiltoniano correspondiente es auto-adjunto. El tiempo de evolución operador es
$$ U(t,t') = \text{e}^{i(t-t')H} \, .$$
Unitarity es equivalente a la necesidad de que la probabilidad se conserva a lo largo de la evolución en el tiempo,
$$ \frac{\text{d}}{\text{d}t} \langle \psi |\psi\rangle = i \langle \psi | H |\psi \rangle -i \langle \psi | H^\dagger |\psi \rangle = 0 \leftrightarrow H = H^\dagger \, .$$
Equivalentemente, tenemos
$$ U^\dagger U = 1 \leftrightarrow H = H^\dagger \, .$$
Si usted toma la transformación de legendre de su Lagrange,
$$ H = \partial_\mu \phi \pi_mu + \partial_\mu^* \phi \pi_mu^* - L \, ,$$
usted puede escribir el Hamiltoniano del sistema. Entonces usted puede comprobar el tiempo que hemos
$$ H^\dagger = H \, .$$
Si este no es el caso, obtener su imaginario de los niveles de energía y la decadencia de la probabilidad. Si es así, su quantum de tiempo de la evolución está bien definido. Me gustaría comprobar que el potencial está limitado por abajo, de modo que el sistema tiene un estado así, pero no creo que esto tenga nada que ver con unitarity.
Tenga en cuenta que usted puede ser capaz de salir de todo esto si el Hamiltoniano es sólo PT simétrica (en lugar de la auto-adjunto). Ver http://arxiv.org/abs/quant-ph/0501052. Sin embargo, esto es muy reciente propuesta de actualización de la mecánica cuántica (normalmente fuera del equilibrio set-ups), que no es la corriente principal, sin embargo, y bajo investigación.
No es el llamado teorema óptico, el cual establece que para la central unitaria de la teoría debe ser $$ Im (M_{k_{1}, k_{2} \a k_{1}, k_{2}}) = 2E_{cm}|\mathbf p_{cm}|\sigma_{total}(k_{1}, k_{2} \), $$ donde $cm$ denota centro de masa marco, $\mathbf {p}_{cm}$ - momentum de una partícula en CM marco, $M$ es la amplitud de la dispersión y $\sigma_{total}$ total de la sección transversal. Así que para la validación básica debe utilizar este teorema.
También hay simple (pero no exacta) método de comprobación de unitarity mediante la comprobación de lagrange en la dimensión constante de acoplamiento (que también puede estar oculto, como en el medidor de teorías, en la polarización de los vectores). Por el ingenuo pensar, la presencia de dimensiones constantes con la dimensión de $E^{-n}, n < 0$ conduce a la aparición de la energía con la dimensión positiva en la matriz de elemento que conducirá a la infinita amplitud y la sección transversal, por lo que tendrá que romper la unitarity. Pero a veces (como en teorías gauge) correspondiente constante de no contribuir a la divergencia.
