¿Por qué es que los vectores y cuaterniones, a continuación, gire por diferentes cantidades?
Considere la posibilidad de una rotación de mapa de $\underline R(a) = q a q^{-1}$. Vamos a rotar esta por algún otro mapa de $\underline S(a) = p a p^{-1}$. La composición es
$$\underline SR(a) = pqaq^{-1} p^{-1}$$
La red de cuaterniones de esta transformación es $pq$. Ahora, considere el caso de que $p = -1$. Esta es una cuádrupla correspondiente a una rotación por $\pi$. A continuación, $pq = -q$ es distinta de la original de cuaterniones $q$, aunque la red de rotación se realiza por $pq$ es el mismo como por $q$. Este es el origen de decir que cuaterniones "doble-cubierta de" el grupo de rotaciones; tienen más rotación a girarse de nuevo a lo que eran, pero las rotaciones ellos mismos representan a ir como era de esperar.
Edit: una opción útil para entender cuaterniones es el geométrica (o clifford) álgebra.
El álgebra geométrica utiliza un geométrica del producto de vectores. Algunas de las propiedades relevantes de este producto son:
- Anticommutativity de vectores ortogonales: Si $u,v$ son ortogonales, entonces $uv = -vu$.
- La reducción para el producto escalar: para cualquier vector $u$, $uu$ es un escalar, y $uu$ (o $u^2$) es igual a $|u|^2$.
- Asociatividad: si $a, b, c$ son vectores, entonces se $a(bc) = (ab)c$.
Productos de $k$ ortogonal de vectores se denominan $k$-cuchillas. Los vectores $1$-cuchillas, y así como cada vector se asocia con un subespacio (línea a), cualquier $2$-la cuchilla puede estar asociada con un plano de subespacio, cualquier 3-hoja con un dosificador volumétrico de subespacio, y así sucesivamente. El álgebra de las cuchillas permite hablar de estos objetos de una manera más natural y fácil de utilizar de manera que los tradicionales de álgebra lineal.
¿Por qué estoy hablando de álgebra geométrica, aunque? Debido a que el GA es una opción útil para entender cuaterniones.
El geométrica del producto facilita la tarea de escribir la reflexión de los mapas. Deje $\underline N$ ser un mapa de reflexión, asociado con la reflexión a través de un plano con normal $n$. A continuación, el reflejo de un vector $a$ es
$$\underline N(a) = -nan^{-1}$$
Es comúnmente conocido que dos reflexiones forman una rotación, así que vamos a hacerlo dos veces. Otro vector de $m$, podemos construir una rotación así:
$$\underline R(a) = mn a n^{-1} m^{-1}$$
La cantidad de $mn$ es la GA analógica de una cuádrupla, aquí se llama a un rotor. A diferencia de los cuaterniones, el número de elementos de un rotor varía en función de la base del espacio vectorial. En 2d, por ejemplo, los rotores tienen sólo dos componentes, y pueden ser identificados con los números complejos.
Sí, habéis leído bien: GA rotores son el escenario natural para ambos números complejos y cuaterniones, así como para la descripción de las rotaciones en las dimensiones superiores espacios!
En 2 o 3 dimensiones, los rotores son combinaciones lineales de escalares y 2 cuchillas. Cada unidad de 2-hoja de plazas para un número negativo. Ejemplo: supongamos $e_1, e_2$ ser un ortonormales base de $\mathbb R^2$. A continuación,$(e_1 e_2)^2 = e_1 e_2 e_1 e_2$. El uso de anticommutativity, vemos que $e_1 e_2 e_1 e_2 = -e_1 e_2 e_2 e_1$. El uso de la reducción a producto escalar, esto se resuelve a $-1$. $e_1 e_2$ directamente representa el $xy$-plane, si se quiere.
Que los rotores en GA involucrar de 2 hojas (o bivectors) en lugar de los vectores es una distinción crítica de cuaterniones: significa que usted ya no puede identificar la "parte imaginaria" de una cuádrupla con un vector. Aunque siempre hay una correspondencia entre el 2-blade parte de una cuádrupla y un vector, que no son el mismo, y no debe confundirse el uno con el otro.
Con esto en mente, podemos escribir un rotor $q = s + B$ donde $s$ es el escalar de la parte y $B$ es el bivector (2-blade). Entonces, la multiplicación de dos cuaterniones de la siguiente manera la propiedad distributiva:
$$q_1 q_2 = (s_1 + B_1)(s_2 + B_2) = s_1 s_2 + s_1 B_2 + B_1 s_2 + B_1 B_2$$
En este punto, es común adoptar algunas de las shorthands para los diferentes términos en un geométrica del producto: por ejemplo, dos escalares multiplicando cada uno de los otros siempre producen un escalar, entonces usted puede ver que $s_1 s_2$ es escalar. Hay un escalar parte en $B_1 B_2$ también. Este es usualmente denotado con $\cdot$, el producto escalar. También hay un 2-hoja plazo en $B_1 B_2$. Solemos decir que
$$B_1 B_2 = B_1 \cdot B_2 + B_1 \times B_2$$
donde $B_1 \cdot B_2$ es definido como el escalar parte y $B_1 \times B_2$ es definido como el bivector parte. Usted puede ver esto inicia el montaje de las piezas de la fórmula que usted está preocupado acerca de los términos organizar a sí mismos simplemente como un hecho de álgebra.
Por lo tanto, si usted quiere entender cómo cuaterniones realizar rotaciones, mi GA perspectiva me dice que es lo suficientemente bueno para entender cómo una sola vectores se utilizan para realizar reflexiones en su lugar. Para mí, esto es bastante simple: el producto $nan^{-1}$ puede ser desglosado de la siguiente manera: $na$ rompe $a$ en paralelo de una parte (la cual se convierte en un escalar, desde el punto de producto) y una perpendicular parte (la cual forma un bivector con $n$). Multiplicando por $n^{-1}$ en el lado equivocado mantiene el paralelo de la parte mientras se cambia el signo de la perpendicular parte. El general menos es necesario para obtener el resultado correcto para una reflexión. Una rotación hace que este proceso dos veces.
