Deje $G$ ser un no-trivial $p$-grupo, vamos a $Z(G)$ denotar su centro, y deje $N$ ser no trivial de la normal subgrupo de $G$. Mostrar que $\left| N \cap Z(G) \right| > 1.$
Prueba. Deje $a \ast n = C_a(n) = ana^{-1}$$a \in G$$n \in N$. Desde $1 \ast n = C_1(n) = n$ todos los $n \in N$ $a \ast (b \ast n) = C_a(C_b(n)) = (C_a \circ C_b)(n) = C_a(bnb^{-1}) = abnb^{-1}a^{-1} = abn(ab)^{-1} = C_{ab}(n) = (ab) \ast n.$
De ello se desprende que $\ast$ es una acción de $G$ $N$ por conjugación. Deje $N^G$ denota el conjunto de $G$-puntos fijos y tenga en cuenta que $N^G = N \cap Z(G)$ (Ya que los elementos que conmutan con a $G$ son invariantes bajo la conjugación). Por lo tanto, obtenemos $| Z(G) \cap N | \equiv | N | \equiv 0 \mod p$. Esto implica que $p$ divide $| Z(G) \cap N |$, y por lo $|Z(G) \cap N| \geqslant p > 1$.
Editar: $| Z(G) \cap N | \equiv | N |$ es un resultado de la siguiente corolario:
Deje $G$ $p$- grupo y que $X$ ser finito $G$-set. A continuación,$|X^G| \equiv |X| \mod p$.
Uno ha $| N | \equiv 0 \mod p$, ya que el $G$ $N$ $p$- grupos y por lo tanto tienen órdenes de igual a algún poder de $p$.
