Energía potencial de un muelle

Question

Estoy desconcertado por la energía potencial de un resorte. Un muelle es un sistema conservativo. Por lo tanto, la energía potencial debe definirse sólo hasta una constante -- puede definirse como 0 en cualquier lugar. Sin embargo, no se puede dejar de necesitar la longitud no estirada del muelle.

Por ejemplo, la diferencia de energía potencial gravitatoria entre dos alturas $h_1$ y $h_2$ es: $$\Delta U = mg(h_2 - h_1)$$

Sin embargo, la diferencia de energía potencial entre dos puntos de extensión es la siguiente

Que un extremo del muelle esté en $x=0$ . Que el otro extremo del muelle no estirado esté en $x_0$ . Encuentra ahora la diferencia de energía potencial del muelle entre otros dos puntos de extensión $x_1$ y $x_2$ . Dejemos que $k=2$ en algunas unidades de fuerza.

$$\Delta U = (x_2 - x_0)^2 - (x_1 - x_0)^2 = (x_2-x_1 )\cdot(x_2 + x_1 - 2x_0)$$

Que no es una función sólo de $x_2-x_1$

Por supuesto, esto también coincide con el trabajo integral.

¿Qué me falta? ( Tengo un doctorado en física, así que debería saberlo mejor ;) )

Answer 1

El hecho de que la energía potencial sólo se defina hasta una constante no implica que las diferencias de energía potencial sólo dependan de las diferencias de posición.

Para ver esto matemáticamente, supongamos que una función $U$ tiene la propiedad de que

$U(x_2)-U(x_1) = f(x_2-x_1)$

para alguna función $f$ . Entonces, si tomamos $x_2 = x+\Delta x$ y $x_1 = x$ y dividir ambos lados por $\Delta x$ , entonces encontramos

$\frac{U(x+\Delta x) - U(x)}{\Delta x} = \frac{f(0+\Delta x) - f(0)}{\Delta x}$

para que tomando el límite $\Delta x \to 0$ da

$U'(x) = f'(0)$

Los primos denotan aquí las derivadas, y asumo que todas las funciones son suficientemente suaves. Vemos que la derivada de $U$ es una constante que significa que $U$ es lineal en $x$ ¡! Por tanto, la clase de potenciales conservativos para los que las diferencias de potencial en diferentes puntos son iguales a alguna función sólo de las diferencias de posición son precisamente los potenciales que son funciones lineales (o más propiamente afines) de la posición.

Precisamente por eso el ejemplo gravitacional parece tener la propiedad "correcta" que querías, pero otras no lineal potenciales no lo hacen.

Answer 2

La elección de un $x_0$ no es elegir un $U_0$ - la fuerza cambia. Su $\Delta U$ es un trabajo realizado por la fuerza elástica. Por supuesto, depende del valor inicial de la fuerza.