Si no he cometido errores, ninguna de las implicaciones se sostiene. Dejemos que $$\begin{split}(A)&\qquad\sup_{t\in\mathbb{R}} |\langle x^*,f_n(t)-f(t)\rangle|\to 0,\\(B)&\qquad\langle \varphi^*,f_n-f\rangle\to0.\end{split}$$
$(B)\Rightarrow (A)$ falla incluso cuando $X=\mathbb{R}$ : tomar $$g(x):=\begin{cases} 0 &\text{ if }x\le 0 \\ 2x &\text{ if }0\le x\le\frac{1}{2} \\ 2-2x &\text{ if }\frac{1}{2}\le x\le 1 \\ 0 &\text{ if }x\ge 1 \end{cases}$$ y establecer $f_n(x):=g(nx)$ . Entonces $f_n(x)\to 0$ de forma puntual pero no uniforme, por lo que $(A)$ no se sostiene.
Pero $BC(\mathbb{R},\mathbb{R})=C(\beta\mathbb{R},\mathbb{R})$ ( $\beta\mathbb{R}$ es la compactación Stone-Cech de $\mathbb{R}$ : cualquier función en $BC(\mathbb{R},\mathbb{R})$ se extiende de forma única a $\beta\mathbb{R}$ por la propiedad universal), por lo que se puede ver cualquier $\phi^*\in Y^*$ como medida de Radon (con signo) en $\beta\mathbb{R}$ .
Ahora las extensiones $\tilde{f_n}:\beta\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ todavía convergen en un punto a $0$ (ya que su apoyo sigue estando contenido en $[0,1]$ (dígame si no está claro). Así que por convergencia dominada $\langle\phi^*,f_n\rangle\to 0$ es decir $(B)$ se mantiene.
$(A)\Rightarrow (B)$ es verdadera cuando $X$ es de dimensión finita (ver comentarios), pero falla cuando $X=\ell^2(\mathbb{N})$ : dejar $P_n:X\to X$ sea la proyección ortogonal sobre $\langle e_1,\dots,e_n\rangle$ , de modo que para cualquier $x$ tenemos $P_n x\to x$ .
Dejemos que $V\subset Y$ sea el subespacio de funciones cuyo rango está contenido en un subespacio de dimensión finita de $X$ . Ahora toma $$f(x):=\begin{cases} 0 &\text{ if }x\le 0 \\ e_n &\text{ if }x=n \end{cases}$$ (y definir $f$ en otros lugares de forma lineal a trozos). Tomemos como ejemplo $f_n:=P_n\circ f$ . Ahora $\langle x,f_n(t)-f(t)\rangle=\langle P_n x-x,f(t)\rangle\to 0$ uniformemente como $n\to\infty$ para cualquier $x\in X$ Así que $(A)$ se mantiene.
Ahora basta con ver que $f\not\in\overline{V}$ entonces por Hahn-Banach existe $\phi^*\in Y^*$ desapareciendo en $V$ y s.t. $\langle \phi^*,f\rangle=1$ (así $\langle \phi^*,f_n\rangle=0$ y $(B)$ falla).
Supongamos por contradicción $f\in\overline{V}$ . Entonces existe $g\in Y$ s.t. $\|f-g\|_\infty<\frac{1}{10}$ . Dejemos que $E\subset X$ sea un subespacio de dimensión finita subespacio s.t. $g(\mathbb{R})\subseteq E$ . Como $g$ está acotado, $g(\mathbb{R})\subseteq K$ para algunos compactos $K\subset E$ . Ahora elige un número finito de puntos $x_1,\dots,x_N\in K$ tal que para cualquier $x\in K$ tenemos $\|x-x_i\|<\frac{1}{2}$ para algunos $i$ . Dejemos que $m\in\mathbb{N}$ ser tan grande que $|\langle x_i,e_m\rangle|<\frac{1}{4}$ para cualquier $i$ . Ahora $\|x_i-e_m\|^2>1+\|x_i\|^2-2\cdot\frac{1}{4}\ge\frac{1}{2}$ Así pues, para cualquier $x\in K$ tiene $\|x-e_m\|>\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}>\frac{1}{10}$ , contradiciendo $d(f(n),K)<\frac{1}{10}$ .
