Sistema de ecuaciones.

Question

Elija la(s) correcta(s): $A_{m*n}$ , $B_{m*n}$ y $X_{n*1}$ son matrices con entradas reales.

A) Si $AX=O$ , $ \forall X$ Entonces $A=O$ (aquí $O$ representa la matriz de cero).

B) $AX=BX$ , $ \forall X$ si $A=B$ .

C) $AX=BX, \forall X$ sólo si $A=B$ .

D) Si $A_{n*n}$ y $X_{n*1}$ Entonces $AX=O$ y $A'X=O$ son de la misma naturaleza en cuanto a soluciones triviales y no triviales.

Encontré que la D es verdadera como $ \rho (A)= \rho (A')$ por lo que sus sistemas homogéneos son de la misma naturaleza. Pero me confundo con A,B,C.

EDITAR ( $1$ ): $A'$ es transponer de la matriz $A$ y $ \rho (A)$ es el rango de $A$ .

Answer 1

A) $ \forall X,\ AX=0 \rightarrow A=0$

Prueba:

La hipótesis nos dice que $ \ker (A)=n$ . Por lo tanto, usando el teorema de rango: $ \rho (A)=0$ lo cual es cierto si $A=0$

B) $A=B \rightarrow \forall X,\ AX=BX$

Prueba:

$ \begin {align} (A-B)X=0X=0 \\ AX-BX=0 \\ AX=BX \end {align}$

C) $ \forall X,\ AX=BX \iff A=B$

Prueba:

Ya hemos probado la mitad de la declaración en B). Queda por mostrar sólo la parte "si":

$ \begin {align} AX=BX\ \forall X \\ (A-B)X=0\ \forall X\ \end {align}$

Por lo tanto, la matriz $A-B$ satisface la hipótesis de A), y así $A-B=0$ y se demuestra que la declaración