Si tenemos una orientable bundle $E\rightarrow M$, entonces la transición de los mapas puede ser ajustado por bacterias Gram-Schmidt proceso en $SO(n,\mathbb{R})$. Por lo que el determinante bundle $\det E$ es isomorfo a $M\times \mathbb{R}$ con un trivial de la sección $m\rightarrow (m,1)$.
Sin embargo, en la dirección inversa, no parece tan claro. Supongamos que tenemos un mundial banalización $f:\det(E)\rightarrow M\times\mathbb{R}$ que se asocia a $e\rightarrow (m,r)$. Considere la posibilidad de un local gráfico en $M$ y la banalización $\phi_{U}\rightarrow U\times \mathbb{R}^{n}$. $\phi_{U}$ podría inducir a un local de la trivialización $\psi_{U}:\det(E)_{U}\rightarrow U\times \mathbb{R}$. A continuación, $f\circ \psi_{U}^{-1}$ puede ser escrito como $(m,r)\rightarrow (m,f(r))$. Sin embargo, todavía tenemos que mostrar $f(r)=\{\pm 1\}$(en la ecuación anterior). Y esto no es tan claro para mí. (¿Por qué no cualquier otro número real de trabajo?) Taubes, a continuación, afirma que tenemos $$f_{U'}\circ \det(g_{U',U})\circ f_{U}^{-1}=1, \forall U\cap U'\not=\emptyset$$
Me pregunto por qué esto es cierto (intuitivamente). Por supuesto podemos usar $\det_{g_{U,U'}}=\psi_{U'}\circ \psi_{U}$, y la ecuación anterior se convierte en nada, pero una combinación de transformaciones de coordenadas. Pero esto en realidad no nos dice nada de forma intuitiva.
Mis pensamientos son para asociar $E$$E^{*}$, y, a continuación, $\det(E)$ $\det(E^{*})$ habría coordinar las funciones de transformación que son inversos el uno al otro. Pero esto en realidad no mostrar por qué la $f=\pm 1$, ya que cualquier número real distinto de cero debe ser invertible.
