Existencia y unicidad de la EDO

Question

Para $u''(x) + u'(x) = f(x)$ y $u'(0) = u(0) = 1/2\bigl(u'(l) + u(l)\bigr)$ con $f$ una función dada, ¿es la solución única, y por qué/por qué no?

Además, ¿existe necesariamente una solución o hay una condición que $f$ debe satisfacer para existir?

Estoy pensando en un factor de integración, pero eso no me llevó a ninguna parte.

Gracias

Answer 1

Podemos intentar un enfoque directo, sin utilizar teoremas generales.

La ecuación puede escribirse como $e^x(u''(x)+u'(x))=e^xf(x)$ Es decir $\frac d{dx}(e^xu'(x))=e^xf(x)$ . Obtenemos $e^xu'(x)=\int_0^xe^tf(t)dt+C_1$ Por lo tanto $u'(x)=e^{-x}\int_0^xe^tf(t)dt+C_1e^{-x}$ . Integrando, esto dará una segunda constante $C_2$ y puede determinar $C_1$ y $C_2$ gracias a las condiciones iniciales.

Answer 2

Se puede reescribir la EDO $$\tag{1} u''(x)+u'(x)=f(x) $$ como $$\tag{2} w'(x)=Aw(x)+f(x)e_2, $$ donde $w={u\choose u'}$ y $A=\left[\begin{array}{cc}0&1\\0&-1\end{array}\right]$, with $e_1, e_2$ the standard basis of $\mathbb{R}^2$. Solving (2) yields $$ w(x)=e^{xA}w(0)+\int_0^xf(s)e^{(x-s)A}e_2ds. $$ Since \begin{eqnarray} e^{xA}&=&I_2+\sum_{k=1}^\infty\frac{x^{2k}}{(2k)!}A^2+\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}A\cr &=&I_2+(\cosh(x)-1)A^2+\sinh(x)A\cr &=&\left[\begin{array}{cc}1&1-e^{-x}\cr0&e^{-x}\end{array} \[derecha], \fin se deduce que $$ u(x)=u(0)+u(0)(1-e^{-x})+\int_0^x(1-e^{x-s})f(s)ds. $$ Porque $$ 2u(0)=u(l)+u'(l)=2u(0)+\int_0^l(1-2e^{l-s})f(s)ds, $$ $f$ y $l$ debe satisfacer la condición $$\tag{F} \int_0^l(1-2e^{l-s})f(s)ds=0. $$

Nota Para $f(x)=a \ne 0$ por cada $x$ y $l \ne 0$ la condición (F) dice $$ l+2-2e^l=0. $$ Es evidente que (F) no se cumple ya que $s+2-2e^s \ne 0$ por cada $s \ne 0$ . Por lo tanto, la condición (F) no siempre se cumple.

Answer 3

(En un comentario, usted pidió la "teoría general")

El ODE $$u''(x)+u'(x)=f(x)\qquad ( a<x<b)\ ,\qquad(*)$$ donde $f$ es continua en $\ ]a,b[\ $ , $\ -\infty\leq a<b\leq\infty$ es una ecuación lineal no homogénea de segundo orden, con coeficientes constantes. La teoría general sobre tales ecuaciones dice lo siguiente:

1. Todas las soluciones están definidas en todos los $\ ]a,b[\ $ .

2. La EDO homogénea asociada $u''+u'=0$ tiene las soluciones $x\mapsto A+Be^{-x}$ con constantes arbitrarias $A$ , $B$ . Se llega a estas soluciones estudiando el polinomio característico $\chi(\lambda):=\lambda^2+\lambda$ de la ODE dada.

3. La solución general de la EDO dada $(*)$ es de la forma $$u(x)=u_p(x) + A +Be^{-x}\ ,$$ donde la llamada solución particular $u_p(\cdot)$ puede ser cualquier solución única de $(*)$ encontrados por cualquier medio (conjeturas, "Ansatz", "variación de constantes", transformada de Laplace, etc.).

4. Cuando $f$ es una función de la forma $x\mapsto x^n e^{\gamma x}$ o una combinación lineal de dichas funciones, entonces a $u_p$ se puede encontrar por medio del álgebra lineal.

En su ejemplo puede sustituir $u'(x):=y(x)e^{-x}$ y entonces obtendrá $y'(x)=f(x)e^x$ o $y(x)=y_0+\int_0^x f(t)e^t\ dt$ . Esto lleva a $u'(x)=y_0e^{-x}+\int_0^x f(t)e^{t-x}\ dt$ . Integrando una vez más tenemos $$u(x)=y_1-y_0e^{-x}+\int_0^x\ \int_0^{x'}f(t)e^{t-x'}\ dt\ dx'=y_1-y_0e^{-x}+\int_0^x f(t)\bigl(1-e^{t-x}\bigr)\ dt\ .$$ Tenga en cuenta que los términos $y_1-y_0e^{-x}$ corresponden a $ A +Be^{-x}$ en la configuración general anterior.

Pero aún no hemos terminado: El problema dado puede tener todavía $0$ , $1$ o una infinidad de soluciones. Esto tiene que ver con las condiciones de contorno no estándar. No creo que haya una "teoría general" que cubra exactamente tus datos. Por lo tanto, tenemos que proceder ad hoc.

Una de sus condiciones es $u(0)=u'(0)$ . Ahora $u(0)=y_1-y_0$ y $u'(0)=y_0$ . Por lo tanto, necesariamente $y_1=2y_0$ . Para satisfacer la condición de contorno en $L$ hay que recoger el $f$ -integrales para $u$ y $u'$ y, a continuación, comprobar si $y_0$ se puede elegir adecuadamente.

Si mis cálculos son correctos, la respuesta es la siguiente: Cuando $\int_0^Lf(t)\ dt=0$ entonces el problema tiene infinitas soluciones, de lo contrario ninguna.