Me preguntaba dónde se pueden encontrar las matrices (y no sólo las tablas de caracteres) de las representaciones irreducibles de los grupos más comunes (alternos, simétricos, octaédricos, etc.).
Gracias por su ayuda....
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user8269
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Hay un pequeño libro llamado Group Tables, de Thomas y Wood, que tiene esta información hasta el orden 40 más o menos (excluyendo el orden 32).
EDIT: Véase también Simon Jon Nickerson, An atlas of characteristic zero representations, http://www.maths.qmw.ac.uk/~raw/SJNphd.pdf Además, puede obtener representaciones de muchos grupos de http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/
Algunas observaciones sobre cómo encontrar matrices si se domina MAGMA o GAP o algo parecido (más que dónde encontrarlas):
- Puedes generar las matrices de todas las representaciones de los grupos simétricos utilizando la teoría de las tablas de Young. Véase, por ejemplo, el libro de Fulton y Harris, "Representation theory, a first course", Graduate Texts in Mathematics 129, o James y Kerber, "The representation theory of the symmetric group", Encyclopedia of Mathematics and its Applications 16. Los grupos alternos funcionan de forma muy similar.
- Para un grupo general $G$ y una representación general $\rho$ con carácter $\chi$ se pueden obtener fácilmente las matrices para $\rho^{\oplus \chi(1)}$ si sólo sabes $\chi$ . En efecto, la representación viene dada por $e_\rho \mathbb{C}[G]$ , donde $e_\chi$ es el idempotente correspondiente a $\rho$ , $$ e_\chi = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \chi(1)\chi(g^{-1})g. $$
- Si conoces las matrices de todas las representaciones de un grupo $G$ y si $A$ es un grupo abeliano, entonces también se pueden encontrar las matrices de todas las representaciones de cualquier producto semidirecto $A\rtimes G$ . El procedimiento se describe en otra respuesta mía . Ten en cuenta que aunque esa respuesta siempre habla de caracteres, en realidad se obtienen las matrices de esta manera, sólo hay que saber cómo obtener matrices de una representación inducida a partir de matrices de la cosa original (si no lo sabes, no dudes en preguntar).
- Por último, para el caso más general, consulte una respuesta mía en MO y la referencia en ella.
Nicky Hekster
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17360
Esta es una excelente pregunta, pero puede complicarse bastante, véase por ejemplo el documento de Eric Kuisch que trabajó en esto. Por cierto, me sigue pareciendo fascinante que en la teoría de la representación (compleja/característica 0) se deseche la mayor parte de la información (las entradas) de las matrices en cuestión, excepto la traza - el carácter. Y un famoso teorema de Georg Frobenius afirma que esto no supone un problema: ¡hasta la similitud, las representaciones están determinadas por sus caracteres! Para representaciones sobre campos con característica $p > 0$ la situación es diferente.
