Casco convexo de la base canónica de $\mathbb{R}^n$ cara de un simplex

Question

Dejemos que $I_n := \{1,2,...,n \}, \ p \in \Delta_n = \{(p_1, ..., p_n) \ | \ p_i \ge 0, \sum_{i=1}^n =1\}$

$ \text{supp (p)}= \{ i \in I_n \ | \ p_i \neq 0\}$

Para un conjunto convexo $C$ definimos $F$ para ser su cara si $F$ es convexo y $\forall x,y \in C, \lambda \in (0,1) : \lambda x + (1- \lambda ) y \in F \Rightarrow x,y \in F$

Para $A \subset I_n$ definimos $F(A) : = \{ p \in \Delta_n \ | \ \text{supp(p)} \subset A \}$

Tengo dos cosas que probar:

$1) F \text{ is a face } \iff \exists A \subset I_n : F = F(A)$

Aquí, $\Leftarrow$ no es un problema. Cuando se trata de $\Rightarrow$ he estado pensando en la prueba indirecta. Es decir, supongamos que $F$ es una cara pero para cada $A \subset I_n, \ F(A) \neq F$ . Pero entonces, si tomamos $A$ para ser un subconjunto de la base canónica de $\mathbb{R}^n$ obtenemos una contradicción. ¿Es eso correcto?

$2) \text{conv} (\{ e_i, i \in A \} ) = F(A)$

aquí $e_i$ son elementos de la base canónica de $\mathbb{R}^n$

Ahora, cuando se trata de $\subset, \ F(A)$ es un conjunto convexo y evidentemente $\{ e_i \ , \ i \in A \} \subset F(A)$ así que $F(A)$ es uno de los conjuntos convexos que contiene $\{ e_i \ , \ i \in A \} $ por lo que la interesección de esos conjuntos debe ser un subconjunto de $F(A)$ .

Tengo problemas para probar la otra inclusión.

¿Podría ayudarme con eso?

Gracias

Answer 1

Probablemente sea más fácil responder a la segunda pregunta antes que a la primera.

Respuesta a la segunda pregunta.

El argumento de la OP ya muestra que ${\textsf{conv}}(e_i;i\in A) \subseteq F(A)$ . A la inversa, supongamos que $p\in F(A)$ . Desde $p\in \Delta_n$ podemos escribir $(*) \ : \ p=(p_1,p_2,\ldots,p_n)$ con $\sum_{i=1}^{n}p_i=1$ . Por definición de $F(A)$ tenemos $p_i=0$ para cualquier $i\not\in A$ para que $(*)$ se reduce a $p=\sum_{i\in A}p_ie_i$ con $\sum_{i\in A}p_i=1$ y esto es claramente en ${\textsf{conv}}(e_i;i\in A)$ .

Respuesta a la primera pregunta.

Dejemos que $\cal F$ ser una cara de $\Delta_n$ . Por inducción en $r$ tenemos que si $x_1,x_2,\ldots,x_r \in \Delta_n$ y $\lambda_1,\lambda_2,\ldots, \lambda_r \in{\mathbb R}_{+}$ con $\sum_{k=1}^r \lambda_k=1$ y $\sum_{k=1}^r \lambda_k x_k \in {\cal F}$ , que todos los $x_k$ están en $\cal F$ .

De ello se deduce que para cualquier $p\in {\cal F}$ y $i\in{\textsf{supp}}(p)$ tenemos $e_i\in {\cal F}$ . Ahora, pongamos $A=\bigcup_{p\in {\cal F}} {\textsf{supp}}(p)$ . Por lo que acabamos de mostrar, tenemos $e_i\in {\cal F}$ por cada $i\in A$ . Si $p\in F(A)$ entonces $p=\sum_{i\in A}p_ie_i$ con $\sum_{i\in A}p_i=1$ por la segunda pregunta anterior, vemos que $p\in {\cal F}$ porque $\cal F$ es convexo. Esto demuestra la inclusión $F(A) \subseteq {\cal F}$ . La inclusión inversa está clara por la definición de $A$ Así que al final tenemos ${\cal F}=F(A)$ como deseaba.