Función de eje y el desplazamiento geodésica

Question

Así que vamos a asumir nuestra colector se haya completado, simplemente conectado, y tiene valor no positivo de la sección transversal de la curvatura. Si suponemos que la función de desplazamiento $f(x)=d(x,\phi(x))$, para una isometría $\phi:M\rightarrow M$, es acotado, desde abajo, por un valor positivo, muestran que existe una geodésica del eje. Que existe una geodésica $\gamma$ tal que $\phi\circ \gamma(t)=\gamma(t+t_0)$ suponiendo que $f(x)=\inf(f)$ algunos $x\in M$.

Así que aquí es lo que tengo hasta ahora. Parece que debo seleccionar la línea geodésica que va de $x$ $\phi(x)$donde $f(x)=\inf(f)$. Yo tenía dos ideas, para mostrar que este es un eje. Es decir, se podía demostrar que $\phi\circ\gamma(-t_0)=\gamma(0)$ donde$\gamma(0)=x$$\gamma(t_0)=\phi(x)$, entonces podemos usar eso geodesics son los únicos en este tipo de colector, o se podía demostrar que $f(\gamma)$ es constante, lo que también podría establecer nuestro resultado, pero no estoy seguro de cómo ir sobre con. Alguna sugerencia? Gracias.

Answer 1

Su primera idea (el uso de la singularidad de geodesics) es buena. La fórmula clave es la derivada de la función de distancia: se nos da un mínimo de $x_0$$f$, por lo que nos gustaría extraer información desde el punto clave de la condición de $Df_{x_0} = 0$. Las hipótesis sobre el colector de garantía de la función de distancia será suave, lejos de la diagonal, esto es sin duda cierto.

Si dejamos $\gamma$ ser un arclength-parametrizadas minimizar geodésica de unirse a $x$ $y$ $L$de su longitud, entonces usted debería ser capaz de derivar a partir de la primera variación de la fórmula que

$$ (Dd_{(x,y)})(u,v) =\langle\dot \gamma(L),v\rangle - \langle \dot \gamma(0), u\rangle.$$

La aplicación de este con $x = x_0, y = \phi(x_0), v = D\phi(u)$ tenemos

$$ Df_{x_0}(u) = (Dd_{(x_0,\phi(x_0)))})(u,D\phi(u))=\langle\dot \gamma(L), D\phi(u)\rangle - \langle \dot \gamma(0), u\rangle=0$$

para todos los vectores $u \in T_{x_0} M$. Desde $\phi$ es una isometría, podemos reescribir esto como $$\langle\dot \gamma(L) - D\phi(\dot \gamma(0)), D\phi(u)\rangle=0$$ para todos los $u$, y por lo tanto el hecho de que $D\phi_{x_0}$ es bijective nos dice que $\dot \gamma(L) = D\phi(\dot \gamma(0))$. Desde $\phi$ es una isometría sabemos $\phi\circ \gamma$ es geodésicos, por lo que la singularidad de geodesics que se extiende de este a la igualdad de las velocidades en un punto a la igualdad de toda la geodesics; es decir $\phi(\gamma(t)) = \gamma(t + L)$.