Forma compacta de la serie $\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} {1\over (x-n)^2}$

Question

¿Cuál es la forma compacta de $$\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} {1\over (x-n)^2}?$$ Si no es un resultado estándar, ¿podría alguien explicar cómo se detecta la forma compacta? Gracias.

Answer 1

Esto se parece a la descomposición de la fracción parcial de una función con un doble polo en cada número entero. La primera función de este tipo que se me ocurre es $$f(x):={\pi^2\over \sin^2(\pi x)}\ .$$ Para demostrar que esta función es efectivamente la solución de su problema puede partir de la fórmula $$\cot(\pi x)={1\over\pi}\left({1\over x}+\sum_{k=1}^\infty\Bigl({1\over x-k}+{1\over x+k}\Bigr)\right)\qquad(*)$$ que se puede encontrar en muchos libros de texto. Se llega a $(*)$ por ejemplo, desarrollando la función $$g(t):=\cos(x\ t)\qquad(-\pi\leq t\leq \pi)$$ para el fijo $x$ en una serie de Fourier con respecto a $t$ y poner $t:=\pi$ al final.

Answer 2

Si buscas en Google "cotangente Herglotz" encontrarás explicaciones de por qué $$ \pi\cot(\pi x) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{x+n} + \frac{1}{x-n} \right). $$ Tomando las derivadas a ambos lados de esta identidad se ve que su suma es igual a $$ \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi x)}. $$