Demostrar por inducción que $\forall n\geq 1,\ 7\mid 3^{2n+1} + 2^{n-1}$

Question

Demostrar por inducción que $$7|3^{2n+1} + 2^{n-1},\ \forall n\geq 1$ $

Caso base:

$n=1$

$3^{2(1)+1} + 2^{1-1} = 28$

Inducción:

$P(k): 3^{2k+1} + 2^{k-1}$

$P(k+1): 3^{2(k+1)+1} + 2^{(k+1)-1}$

$3^{2k+3} + 2^k$

$9 \times 3^{2k+1} + 2^{k-1} \times 2$

$7 \times 3^{2k+1} + 2 \times 3^{2k+1} + 2^{k-1} \times 2$

¿A dónde voy de aquí?

Answer 1

Intuitivamente la inducción paso surge por la aplicación de la Congruencia de los Productos de la Regla (ver más abajo)

$$ \begin{align}{\rm mod}\,\ 7\!:\qquad \color{#0a0}{3^{\large 2}}\ \equiv&\,\ \ \color{#0a0}{2}\\[2pt] 3^{\large 1+2n}\equiv&\,\ {-}2^{\large n-1}\quad {\rm i.e.}\ \ P(n)\\[-4pt] \overset{\rm multiply}\Rightarrow\ \ 3^{\large 1+2n}\,\color{#0a0}{3^{\large 2}} \equiv&\,\ {-}2^{\large n-1}\, \color{#0a0}{2}\\[2pt] {\rm i.e.}\quad\, \ 3^{\large 1+2(\color{#c00}{n+1})}\equiv&\,\ {-}2^{\large \color{#c00}{n}}\ \ \ {\rm i.e.}\ \ P(\color{#c00}{n\!+\!1})\end{align}\ \qquad $$

Si eliminamos el idioma de congruencias sustituyendo en línea la siguiente prueba de la Congruencia del Producto Regla, entonces obtenemos exactamente el común de la prueba dado que en la mayoría de las respuestas. Incluso si congruencias son desconocidas, aún podemos imponer esta intuitiva aritmética de la estructura mediante el uso de la Regla del Producto en un equivalente divisbility forma, es decir,

$$\begin{align} {\rm mod}\,\ m\!:\, A\equiv a,\, B\equiv b&\ \ \,\Longrightarrow\,\ \ AB\equiv ab\qquad\text{Congruence Product Rule}\\[3pt] m\mid A-a,\ B-b&\,\Rightarrow\, m\mid AB-ab\qquad\text{Divisibility Product Rule}\\[4pt] {\bf Proof}\quad (A-a)B+a(B&-b)\, = AB-ab\end{align}$$

Así, el paso inductivo no necesitan ser sacados de un sombrero como por arte de magia. Más bien, ha intuitiva aritmética contenido como de la congruencia de la multiplicación. Ver aquí para más discusión.

Nota: escribí la congruencia de la prueba en la forma anterior (vs simple congruencia formas) con el fin de comprender mejor cómo las otras respuestas son precisamente equivalente a la aplicación de la Regla del Producto.

Answer 2

Tenga en cuenta que desde su asunción se tiene:

$3^{2k+1} +2^{k-1} = 7p,\quad p\in\mathbb{Z}$

Entonces puede cambiar la siguiente línea que usted tiene:

$9 \cdot3^{2k+1} + 2^{k-1} \cdot 2$

en:

$2(3^{2k+1}+2^{k-1})+7\cdot3^{2k+1} = 2\cdot 7p+7\cdot3^{2k+1}=7(2p+3^{2k+1})$

que es divisible por $7$ como sea necesario.

Answer 3

$$P(k)=3^{2k+1}+2^{k-1}=7 \lambda (let)$ $, Para $(k+1)$, $$9*3^{2k+1}+2^{k-1}.2$ $ Put $2^{k-1}$ forma primera ecuación escribí $$7.(3^{2k+1}+2\lambda)$ $

¿Espero que tu duda se resuelve?

Answer 4

La expresión correcta es obviamente $$3^{2n+1}+ 2^{n-1}$$. $n = 1:3 ^ 3 +2 ^ 0 = 27 +1 = 28 $ $n = 2:3 ^ 5 +2 ^ 1 = 245 = (35) 7 $ $n = 3:3 ^ 7 +2 ^ 2 = 2191 = (313)(7)$

Por lo tanto

Answer 5

Por el teorema del binomio $$ 3 ^ {2n +1} = 3\cdot 9 ^ n = 3 (7 +2) ^ n = 3 (7 +2 ^ n) = 21a +6\cdot2 ^ {n-1} por lo tanto de $$ $$ 3^{2n+1}+2^{n-1}=21a+7\cdot2^{n-1}=7(3a+2^{n-1}) $$