Demostrar que .

Question

Que $f$ ser una función continuamente diferenciable en $[0,1]$ y $f(0)=0$. Demostrar que %#% $ #%

¡Gracias!

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que $f' \geqslant 0$ por todas partes (y por lo tanto $f \geqslant 0$, y $f$ es monótonamente no-decreciente)-considerar lo contrario $F(x) = \int_0^x \lvert f'(x)\rvert\,dx$. Entonces

$$\int_0^1 f(x)f'(x)\,dx = \int_0^1 \frac12 \frac{d}{dx} f(x)^2\, dx = \frac12 f(1)^2.$$

Ahora,

$$f(1) = \int_0^1 f'(x)\, dx = \int_0^1 1\cdot f'(x)\,dx \leqslant \sqrt{\int_0^1 1^2\,dx}\sqrt{\int_0^1 f'(x)^2\,dx} = \sqrt{\int_0^1 f'(x)^2\,dx}$$

por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Cuadratura y dividiendo por $2$ rendimientos de la Proposición.