Generalizar una secuencia.

Question

Consideremos una secuencia de la forma

$x[n]=-1,-1...,1,1,...,-1,-1...,1,1... \quad n>0$

Se puede pensar en esto como una onda cuadrada ( $\pm1$ ) con un ciclo de trabajo del 50 % (procedente de EE).

Para el caso más sencillo de dicha serie, es decir $-1,+1,-1,+1,-1...$ una ecuación general es bastante trivial ( $x[n]=-1^n$ ).

¿Podemos tener una ecuación general para los otros casos, es decir, cuando hay varios $-1$ seguido de $+1$ 's ?

Answer 1

Si quieres $m$ negativos, seguidos de $m$ positivos, etcétera, entonces usa $$-(-1)^{\lfloor{n/m}\rfloor}$$ donde $\lfloor{x}\rfloor$ es la función suelo, y la secuencia comienza con $n=0$ . ¡Feliz Año Nuevo!

Answer 2

¿Qué tal si $x(k)=(-1)^{\left\lceil\frac{k}{n}\right\rceil}, k=1,2,3\ldots$ ? Esto producirá la secuencia con $n$ de $-1$ 's, seguido de $n$ de $1$ 's, seguido de $n$ de $-1$ etc.

Nota: $\lceil x\rceil$ es $\operatorname{ceil}(x)$ - el número entero más pequeño $\ge x$ .

Answer 3

Prueba esto:

$$x(k)=-\frac{2}{\pi}\left[\arctan\left(\sin\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)+\arctan\left(\csc\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right)\right]$$

para $k=1,2,3,\ldots$ . Me llevó un poco de tiempo elaborarlo, pero debería funcionar.

Answer 4

He aquí un truco ingenioso.

El $n$ las raíces de la unidad $\omega_n = e^{\frac{2\pi i j}{n}}$ puede utilizarse para filtrar elementos de las secuencias.

Seguro que ya has utilizado trucos como $b_n = \frac{a_n + a_n(-1)^n}{2}$ para obtener una secuencia que le dé el valor $a_n$ para múltiplos de $2$ y $0$ de lo contrario.

Si quieres esto pero por un $k$ ciclo, basta con utilizar $\displaystyle c_n = \frac{\sum_{j=0}^{k-1}a_n \omega_k^n}{k}$ y se puede jugar más con ella para hacerla más interesante.

Puedes combinar esto con las técnicas dadas en las otras respuestas para crear cualquier secuencia de $1$ te gusta.