Edit 1: Mirando hacia atrás en esa nota, que escribí $6$ años, es claro y demasiado técnico. Desde $\pi(x)=\frac{x}{\log x}+O\left(\frac{x}{(\log x)^2}\right),$ tenemos que $$\sum_{p\leq (\log x)^2}\pi\left(\frac{x}{p^3}\right)\sim \frac{x}{\log x}\sum_{p\leq (\log x)^2}\frac{1}{p^3}+O\left(\frac{x\log \log (x)}{(\log x)^2}\right).$$ Now, $$\sum_{p\leq (\log x)^2}\frac{1}{p^3}=P(3)+O\left(\frac{1}{(\log x)^4}\right),$$ so all that remains is to bound the sum $$\sum_{(\log x)^2\leq p\leq x^{1/3}}\pi\left(\frac{x}{p^3}\right)$$ from above, which can be done in a straightforward way with only the bound $\pi(x)=O(x/\log x)$, and we conclude that $$\sum_{qp^3\leq x} 1 \sim P(3)\frac{x}{\log x}.$$
Edit 2: he Aquí una diferente forma enrevesada para hacerlo: Secuencia de números con la descomposición en factores primos $pq^2$
Esto puede ser demostrado mediante parcial de la suma. Ver esta nota que escribí para los detalles completos. La suma $$\sum_{p} \pi\left(\frac{x}{p^3}\right)=\sum_{p\leq x} \sum_{q\leq \frac{x}{p^3}}1=\sum_{qp^3\leq x} 1$$ counts the number of integers $n\leq x$ such that $n=qp^3$ where $p$ and $p$ are both prime (and not-necessarily distinct). Let's call this $\sigma_{(1,3)}(x)$
Usted está en lo correcto que $$\sigma_{(1,3)}:=\sum_{p} \pi\left(\frac{x}{p^3}\right)\sim P(3)\frac{x}{\log x}.$$ More generally, consider the number of integers of the form $n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ where $1=\alpha_1\leq \alpha_2\leq \dots\leq \alpha_k$ and $1=\alpha_1=\cdots=\alpha_r<\alpha_{i+1}$. Call this $\sigma_{(\alpha_1,\dots,\alpha_r)}$. Entonces
Teorema: Tenemos que $$\sigma_{(\alpha_1,\dots,\alpha_r)}\sim \frac{x(\log \log x)^{r-1}}{\log x}\prod_{i=r+1}^k P\left(\alpha_i\right).$$
Todo esto aparece en la nota he enlazado más arriba.
Por ejemplo, esto significa que el número de enteros de la forma $n=pqr^2s^3$ menos de $x$ donde $p,q,r,s$ es de los primeros, es asintótica a $$\frac{x\log \log x}{\log x} P(2)P(3).$$
