¿Cómo solucionarlo?

Question

Cómo resolver la ecuación diferencial $(x + 2y - 4)dx - (2x + y - 5)dy = 0$. No separables, ni exacta ni homogénea. La solución es $(x - y -1)^3 = C(x + y - 3)$. ¿Cómo puedo conseguirlo?

Las otras ecuaciones similares a este son:

$(1+ x + y)dy - (1- 3x - 3y)dx = 0$ Respuesta: $3x + y + 2ln(-x - y +1) = k$

$(3x - y + 2)dx + (9x - 3y +1)dy = 0$ Respuesta: $2x + 6y + C = ln(6x - 2y +1)$

Si alguien me señale cómo resolver la primera ecuación que se pueda solucionar los demás. Muchas gracias.

Actualización: Dado Orangutango y Chris ayuda me mudé a una solución d.e. Pero no tuvo la misma respuesta de mi profesor de la lista. ¿Se me olvida algún paso?

(X + 2Y)dX = (2X+Y)dY
dY/dX = (X + 2Y)/(2X + Y)

Haciendo una sustitución para resolver el ahora homogénea: Y = VX, Y'= V + V X

V+V X = (X + 2VX)/(2X + VX)
V+V X = (1 + 2V)/(2 + V)
V X = ((1 + 2V)/(2 + V) - V
V X = (1 - V^2)/(2 + V)

(2 + V)dV/(1-V^2) = dX/X

Integrar el lado izquierdo tengo:

int (2 + V)dV/1-V^2 =
2 * int dV / (1-V^2) + int V dV / (1-V^2) =
registro | (v + 1) / (v-1) | - 1/2 log | V^2 + 1 | + c1

La integración de la parte derecha: log X + c2

A continuación, sustituyendo V=Y/X y entonces X=x-2 y=y-1 no parece producir la propuesta de respuestas. ¿Dónde está mi profesor tiene esto? Es la solución correcta? Gracias de nuevo.

Answer 1

Es solamente esos molestos constantes $-4$ y $-5$ que se mantiene la ecuación de ser homogénea. Se puede eliminar por una sustitución adecuadamente solicitadas $X=x+a$, $Y=y+b$ (que $\frac{dY}{dX}=\frac{dy}{dx}$) para dar una ecuación homogénea que se puede resolver entonces como normal.

Answer 2

$$ (x + 2y - 4)dx - (2x + y - 5)dy = 0 $$

Deje $X = x + a$ $Y= y+ b$ y vamos a ver si podemos elegir los valores adecuados para$a$$b$.

$$ (X - a + 2Y - 2b - 4)dX - (2X-2a + Y - b - 5)dY =0$$

Es fácil encontrar lo que es el "adecuado" de los valores debe ser, ya que sólo queremos que ellos para cancelar las constantes! Así que vamos a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{align*} -4 &= a + 2b\\ -5 &= 2a + b \end{align*}$$ Voy a dejar de comprobar que los valores correctos se $a=-2$$b=-1$. Esto nos deja con $$(X + 2Y)dX - (2X+Y)dY=0$$ Se puede tomar desde aquí?

EDIT: Ahora vamos a $Y=VX$, y, por tanto,$dY = VdX + XdV$. $$\begin{align*} X(1 + 2V)dX - X(2+V)(VdX+XdV) &=0\\ X(1-V^2)dX - X^2(2+V)dV &=0\\ X(1-V^2)dX &= X^2(2+V)dV\\ \dfrac{1}{X}dX &= \dfrac{2+V}{1-V^2}dV\\ \log(X) + C_1 &= \dfrac{1}{2}(-3 \log(1-V)+\log(1+V))\\ C_2X^2 &= \dfrac{1+V}{(1-V)^3}\\ C_2X^2(1-V)^3 &= 1+V\\ C_2X^2(1-\dfrac{Y}{X})^3 &= 1+\dfrac{Y}{X}\\ C_2\dfrac{(X-Y)^3}{X}&= 1+\dfrac{Y}{X}\\ C_2(X-Y)^3 &= X + Y\\ C_2(x-y-1)^3 &= x + y - 3 \end{align*}$$

Así que su profesor tiene la solución correcta.