$${\LARGE\int}_0^{2\pi}\frac{dt}{\sqrt[{\LARGE 4}]{A\Big(\sin^8t+\cos^8t\Big)+B\Big(\sin^6t\cos^2t+\sin^2t\cos^6t\Big)+C~\sin^4t\cos^4t}}~=~?$$
donde $A=0.3$, $B=-3.3$, y $C=10$. Su valor numérico es acerca de $12.0165220075768590.$ la Inversa de La Calculadora Simbólica parece desconcertado. Maple y Mathematica son incapaces de devolver un
la forma cerrada. $\bigg($Siéntase libre de elegir a$A=\dfrac13$$B=-\dfrac{10}3$ , si ayuda a$\bigg)$.
Motivación:
$\qquad\qquad\qquad\quad$ Por encima de la forma está dada por la implícita ecuación polinómica $$A\Big(x^8+y^8\Big)+B\Big(x^6y^2+x^2y^6\Big)+C~x^4y^4=R^8,$$ where $a=0.3$, $B=-3.3$, $C=10$, and $R=2$. Letting $x=r\sen t$ and $y=r\cos t$, somos así, finalmente, capaz de expresarse en coordenadas polares, ya que el Cartesiano queridos parece algo inadecuado, extremadamente forma cóncava, que la hacen muy resistente a ser analizado en términos de funciones de valor, a pesar de los diversos sectionings y rotaciones. Por lo tanto la mencionada integral de nacer. Pero si se dispone de una forma cerrada, incluso en términos de funciones especiales, tales como las integrales elípticas, es más allá de mí. Yo no veo la tangente de la mitad de ángulo de sustitución va a ninguna parte. Tal vez algunos de los complejos métodos de integración están en orden ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Este post es un trabajo en progreso y todavía tengo un montón de trabajo por hacer en términos de formato, que muestra la obra y el final de la evaluación de la integral. He utilizado el contorno de integración para reducir la integral a una integral que involucra sólo a los polinomios. Si usted tiene alguna pregunta no dude en preguntar.
Deje $\gamma$ ser la unidad de$\require{autoload-all}$ círculo.
$$I = \int_0^{2\pi}\!\!\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt[4]{A(\sin^8(t)+\cos^8(t))+B(\sin^6(t)\cos^2(t)+\sin^2(t)\cos^6(t))+C\sin^4(t)\cos^4(t)}}$$
$$ \toggle{ \text{Set} \; x = e^{que}\quad\encerrar{roundedbox}{\text{ haga Clic para obtener Información }} }{ \begin{align} x &= e^{it}\\ \sin(t) &= \frac{1}{2i}\left(x-\frac{1}{x}\right)\\ \cos(t) &=\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\\ \mathrm{d}t &= \frac{-i \, \mathrm{d}x}{x} \end{align} }\endtoggle $$
$$I = \int_\gamma\!\frac{-i\,\mathrm{d}x}{x\sqrt[4]{A((x-\frac{1}{x})^8+(x+\frac{1}{x})^8)-B((x-\frac{1}{x})^6(x+\frac{1}{x})^2+(x-\frac{1}{x})^2(x+\frac{1}{x})^6)+C(x^2-\frac{1}{x^2})^4}}$$
Vamos a dejar que $$P'(x) = A\left(\left(\!x-\frac{1}{x}\!\right)^8\!\!+\left(\!x+\frac{1}{x}\!\right)^8\right) \!-B\left(\!x^2\!-\!\frac{1}{x^2}\!\right)^2\!\left(\left(\!x-\frac{1}{x}\!\right)^4\!\!+\left(\!x+\frac{1}{x}\!\right)^4\right)\! + C\left(\!x^2\!-\!\frac{1}{x^2}\!\right)^4$$
y $$P(x) = 256\cdot P'(x)$$
$$I = \int_\gamma \! \frac{-4i}{x\sqrt[4]{P(x)}} \mathrm{d}x$$
Ahora vamos a proceder a la evaluación de la integral utilizando el contorno de los métodos. Una cuidadosa nota sugiere que $P(x)$ puede ser resuelto como un cuarto grado en $x^4$. Vamos a las raíces de este polinomio se $\xi_j$$1\leq j \leq 16$. Tenga en cuenta que la función que se están integrando tiende a $0$$x\to 0$.
Para cualquier conjuntos de parámetros, encontrar las raíces y el uso de la teoría de contorno de integración para evaluar la integral. Esto podría ser posible en el caso general, pero lo más probable es que no vale la pena perseguir.
Con esto ya debería ser capaz de encontrar un poco de forma cerrada para su caso específico.
Para sus parámetros, $$\begin{align}P(x) =\frac{86 x^8}{5}+\frac{86}{5 x^8}+\frac{16 x^4}{5}+\frac{16}{5 x^4}+36 \end{align}$$
Debido a que comparte la misma raíz de un cuarto grado en $x^4$ admite raíces expresable en términos de los radicales. $$ \toggle{\encerrar{roundedbox}{\text{ haga Clic en para el Análisis de las Raíces }} }{ \text{Para simplificar, definir}\\ \Omega_1 = \Re\left(-\frac{2}{43}-\frac{i \sqrt{39}}{43}+\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{7536}{1849}+\frac{16 i \sqrt{39}}{1849}}\right) \aprox -0.0398198141\\ \Omega_2 =\Im\left(-\frac{2}{43}-\frac{i \sqrt{39}}{43}+\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{7536}{1849}+\frac{16 i \sqrt{39}}{1849}}\right) \aprox 0.8642098747 \\ \Omega_3 = \Re\left(-\frac{2}{43}+\frac{i \sqrt{39}}{43}+\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{7536}{1849}-\frac{16 i \sqrt{39}}{1849}}\right) \aprox -0.0532034417\\ \Omega_4 = \Im\left(-\frac{2}{43}+\frac{i \sqrt{39}}{43}+\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{7536}{1849}-\frac{16 i \sqrt{39}}{1849}}\right) \aprox 1.1546748979 \\ \text{Las raíces están dadas por}\\ \begin{align} \zeta_{1-4} &= (\Omega_1+i\Omega_2 )^{1/4}e^{k\pi i/2}\\ \zeta_{5-8} &= (\Omega_1-i\Omega_2 )^{1/4}e^{k\pi i/2}\\ \zeta_{9-12} &= (\Omega_3+i\Omega_4 )^{1/4}e^{k\pi i/2}\\ \zeta_{13-16} &= (\Omega_3-i\Omega_4 )^{1/4}e^{k\pi i/2}\\ \end{align}\\ \text{para}\; k = 0,1,2,3. }\endtoggle $$
Está claro que $8$ de estas raíces ($\zeta_{1-8}\!$) están en el interior del contorno.
Ahora considere la posibilidad de $$I = \int_\gamma \! \frac{-4i}{x\sqrt[4]{P(x)}} \mathrm{d}x$$
Ahora estamos buscando una forma diferente de evaluar esta integral.
Esta integral se divide en muchos de los contornos que incluyen, el círculo unidad, pequeña semi-círculos alrededor de cada raíz de $P(x)$ dentro del círculo unidad, las líneas de conexión de la unidad de círculo a las raíces y las líneas que conectan las raíces, al origen. Para una mejor idea de lo contorno que estoy describiendo, ver la imagen en la parte inferior del post.
Es bueno señalar que la contribución de los pequeños círculos alrededor de cada raíz es cero debido a que la función tiende a $\frac{1}{\sqrt[4]{z}}$ alrededor de las raíces. Además, la contribución total de las líneas de conexión de la unidad de círculo a la raíz será cero porque es el mismo camino recorrido en la dirección opuesta. Este no es el caso para las otras líneas, ya que de la rama de corte.
Ahora podemos escribir que el resultado final, $I$, es igual a la suma de las integrales que se conectan a las raíces, al origen. Para una simplificación,
$$\begin{align} \Omega_1 &= -\frac{2}{43}-\frac{i \sqrt{39}}{43}+\frac{1}{2} \sqrt{-\frac{7536}{1849}+\frac{16 i \sqrt{39}}{1849}}\\[.2cm] \xi &= \Omega_1^{1/4} \approx 0.8867082411 + 0.3793025249 i\end{align}$$
$\xi$ es una de las raíces de $P(x)$. El uso de la simetría, que se justificará más adelante, nos encontramos con que
$$\large J = \int_0^1\!\!\! \frac{32 i}{t \sqrt[4]{\frac{86}{5}t^8\xi^8+\frac{86}{5 t^8 \xi^8}+\frac{16}{5} t^4\xi^4+\frac{16}{5 t^4 \xi^4}+36}} \mathrm{d}t$$
$$\large I = 12.01652200\ldots = \boxed{\Re({J}) + \Im({J})}$$
Para la evidencia numérica
En :=
w= N[(-(2/43)-(I Sqrt[39])/43+1/2 Sqrt[-(7536/1849)+(16 me Sqrt[39])/1849])^(1/4),100]
J= NIntegrate[(32 I)/(t (36+86/(5 t^8 w^8)+16/(5 t^4 w^4)+16/5 t^4 w^4+86/5 t^8 w^8)^(1/4)),{t,0,1},WorkingPrecision->50];
Re[J]+Im[J]
Out := 12.016522007576859017247019246788042118792983861776
El siguiente paso es encontrar una forma más simple para $J$. La mayoría de los naturales de sustitución es de $x = t\xi$. Con esto, escribir
$$\begin{align} J &= 32 i\int_0^\xi\!\!\! \frac{ \mathrm{d}x}{x\sqrt[4]{\frac{86}{5}x^8+\frac{86}{5x^8}+\frac{16}{5} x^4+\frac{16}{5x^4}+36}} \\[.2cm] &= 32i \cdot 5^{1/4} \int_0^\xi \!\!\! \frac{x}{\sqrt[4]{86x^{16}+16x^{12}+180x^8+16x^4+86}}\mathrm{d}x\end{align}$$
Este resultado no parece satisfactoria, pero yo he vuelto a la trigonométricas integral en una que involucre sólo a los polinomios. Este post es un trabajo en progreso, así que puede ser capaz de encontrar una mejor forma de la integral en el tiempo que viene.
Para el razonamiento detrás de la elección de mi contorno, ver esta imagen. El $16$ raíces se encuentran en las puntas de las líneas blancas con las líneas blancas de ser los cortes de ramas. Debido a la mencionada simplificación, la última integral es igual a la suma de las integrales a lo largo de las líneas blancas en el círculo unidad. La simetría puede ser utilizado para simplificar la evaluación final.
Aquí es el código utilizado para generar esta imagen (robado de este post).
GraphicsRow[Table[ContourPlot[g[f],{x,-1.5,1.5},{y,-1.5,1.5},ColorFunction->"GrayYellowTones",Epilog->{Cyan,Thick,Circle[{0,0}],Red,PointSize[0.02],Point[{Re@#,Im@#}&/@{}]},Contours->100],{g,{Re,Im}}]]
Además de los varios equivalente integrales ya publicado, este es de interés : $${\LARGE\int}_0^{\infty}\frac{4~dt}{\sqrt[{\LARGE 4}]{4A\cosh^2t+2B\cosh t+C-2A}}$$ Supongamos que una forma cerrada existe para esta integral. Por "forma cerrada", me refiero a la combinación de un número limitado de funciones estándar. De esta forma cerrada debe ser válido para determinados valores de $A,B,C$, por ejemplo,$A=1/4, B=1/2, C=1/2$, es decir, la integral : $${\LARGE\int}_0^{\infty}\frac{dt}{\sqrt[{\LARGE 4}]{\cosh^2t+\cosh t}}$$ Hasta donde yo sé, no hay forma cerrada para ella, que está en contradicción con la anterior suposición. Esa es la razón por la que creo que es dudoso que una forma cerrada que existe para la primera integral. Puede ser, es posible que exista una forma cerrada que implican otras funciones especiales que no se hace referencia o no hoy en día se considera como función estándar en las publicaciones.
