Sumas de índices de salto

Question

Si tuviéramos un segmento de código como este:

int sum = 0;
for(int j = 1; j <= n; j++){
    for(int k = 1; k <= j; k++){
        sum += k;
return sum;

entonces podríamos convertirlo en notación sumatoria para evaluarlo:

$$\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^j k = \frac 16 n (n + 1) (n + 2)$$ que es trivial de calcular.

Sin embargo, ¿qué pasa si tenemos algo así? (aquí $j$ et $k$ aumentar en un número entero más que $1$ )

int sum = 0;
for(int j = 1; j <= n; j += 3){
    for(int k = 1; k <= j; k += 2){
        sum += k;
return sum;

Con estas "sumas saltantes", ¿es posible convertirlas en una notación de suma? He considerado poner, por ejemplo, $j$ en la forma $1+3x$ et $k$ en la forma $1+2u$ pero entonces hay que resolver manualmente cada uno de los límites del índice, lo que no es lo suficientemente puro para mí (y no estoy convencido de que tal enfoque funcione, de todos modos).

¿Existe una teoría desarrollada sobre cómo enfocar esas sumas? Me parece que debería haber una forma fácil de convertirlas en sumas típicas, pero no estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Toma el código

int sum = 0;
for (int j=1; j<=n; j += t){
    sum += f(j);
}
return sum;

para alguna función

float f(int);

La salida de este código sería

$$f(1)+f(1+t)+\cdots+f(1+st)=\sum_{j=0}^{s}f\big(jt+1\big)$$

donde $s=\max\{\sigma\in\Bbb Z:1+\sigma t\le n\}$ . Entonces $s=\max\{\sigma\in\Bbb Z:\sigma\le (n-1)/t\}=\lfloor (n-1)/t\rfloor$ .

Aplicando esto a su código, obtenemos

$$\sum_{j=0}^{\lfloor (n-1)/3\rfloor}\sum_{k=0}^{\lfloor 3j/2\rfloor}(2k+1)=\sum_{j=0}^{\lfloor (n-1)/3\rfloor}(\lfloor 3j/2\rfloor+1)^2$$

Esto es $$S-T$$ donde $$S=1^2+2^2+\cdots+(a+1)^2,$$ $$T=3^2+6^2+\cdots+(3b)^2$$ donde $a$ es la mitad, redondeada hacia abajo, del mayor múltiplo de $3$ estrictamente menos de $n$ et $3b$ es el mayor múltiplo de $3$ no mayor que $a+1$ .

Answer 2

Su nueva versión se puede escribir $$\sum_{j=1}^{\lfloor \frac n3\rfloor} \sum_{k=1}^{\lfloor\frac j2\rfloor}(2k-1)=\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n3\rfloor}\left \lfloor\frac j2\right \rfloor^2$$ que puedes sumar de la misma manera.