Si P congruente a $-1 \bmod$ 8 entonces $2^{(p-1)/2} - 1$ divisible por $p$

Question

Estoy tratando de probar lo siguiente:

Si $p$ $-1 \bmod 8$ congruentes, entonces el $$2^{\frac{p - 1}{2}} - 1$$ divisible by $$%p.

Puedo asumir es congruente a $p$ $-1 \bmod 8$, entonces debo probar es divisible por $2^{\frac{p - 1}{2}} - 1$ $p$.

Así $p + 1 = 8n$, pero estoy confundido Cómo puedo usar esta hipótesis a probar divisible $2^{\frac{p - 1}{2}} - 1$ $p$.

Answer 1

Que $p=8k-1$ y que $n=(p-1)/2 = 4k-1$. Luego tenga en cuenta que

$$1\cdot 2\cdot 3\cdots n \equiv (-(p-1))\cdot 2 (-(p-3)) \cdot 4 (-(p-5)) \cdots (n-1)(-(p-n)) \pmod{p},$$

donde reemplazamos cada número impar $x$ por un número congruente $-(p-x)$.

Ahora contar los signos menos en el último producto. Porque $n$ es impar, hay $(n+1)/2 = 2k$, así que su producto es igual a $1$. Así se convierte la congruencia anterior

$$n! \equiv (p-1)\cdot 2 (p-3) \cdot 4 (p-5) \cdots (n-1)(p-n) \pmod{p}.$$

A continuación, tenga en cuenta que $2n = p-1$, $2(n-1) = p-3$, $2(n-2) = p-5, \ldots, n+1=4k =p-n,$ así que tenemos

$$n! \equiv (2n)\cdot 2\cdot(2(n-1))\cdot 4 \cdots (n-1)\left(2\frac{n+1}{2}\right) \pmod{p}. $$

Reorganizar la derecha para obtener

$$n! \equiv 2\cdot 4 \cdot 6 \cdots (n-1)(n+1)\cdots (2n) \equiv 2^n n! \pmod{p}.$$

Cancelar el $n!$ y listo.

Answer 2

Si conoces la reciprocidad cuadrática, segundo suplemento dice:

$2$ es un cuadrado mod $p$iff $p \equiv \pm 1 \bmod 8$

Criterio de Euler dice:

$2$ es un cuadrado mod $p$iff $2^{(p-1)/2} \equiv 1 \bmod p$

Por lo tanto, $$ p \equiv -1 \bmod 8 \implies \text{$2$ es un mod de cuadrados $p$} \implies 2 ^ {(p-1)/2} \equiv 1 \bmod p $$