Supongamos que $f$ es una equivalencia conformada entre dos dominios $D_1$ y $D_2$ en $\mathbb{C}$ . ¿Implica esto la existencia de un mapa
$F_t(z): D_1 \times [0, a] \rightarrow \mathbb{C}$
de tal manera que cada $F_t$ se conforma en $z$ y suave en $t$ , $F_0 = \text{id}$ y $F_{a} = f$ ? Si no, ¿se mantiene esto si hacemos suposiciones más fuertes, como requerir que la frontera sea un dominio de Jordania, etc.?
Supongamos que $D_1$ es el disco de la unidad $D$ . Primero, puedes asumir que $f(0)=0, f'(0)=1$ . Ahora usa la homotropía $f(tz)/t$ para $0<t\le 1$ extendido por la identidad a $t=0$ .
Esto muestra que el espacio de las funciones univalentes $D\to {\mathbb C}$ (normalizado para tener $f'(0)=1$ ) es contraíble.
A través del teorema de mapeo de Riemann, lo mismo se aplica a todos los dominios simplemente conectados $D_1$ .
En cuanto al caso general, el mapa $z\mapsto z^{-1}$ con $D_1={\mathbb C}^\times$ es un contraejemplo.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
Tal y como están las cosas, la respuesta sería (en general) no. Un mapa conforme $\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ es de la forma $z \mapsto cz+d$ donde $c\neq 0$ . ¿Te refieres a una homotopía $F\colon D_1\times [0,a] \to \mathbb{C}$ con $F_0 = \operatorname{id}_{D_1}$ y $F_a = f$ ?
1 votos
Supongo $D_1=D_2=\mathbb C\setminus\{0\}$ y $f(z)=\frac1z$ puede plantear problemas: Las dos lagunas $0$ y $\infty$ tienen que cambiar de lugar, lo que requiere $\infty$ en la imagen intermedia $t$ valores.
0 votos
Ah, sí, gracias por detectar la errata. Corregido.