Cómo calcular $E[W_t^4]$, $W_t$ ser un proceso de Wiener estándar

Question

Quiero calcular el cuarto momento de un estándar de Wiener proceso: $E[W_t^4]$. Mi solución no es igual a la de mi libro de texto pero no entiendo donde estoy equivocado. Empecé por la aplicación de Ito lema a $g(W_t) = W_t^4$ y consiguió

$dg(W_t) = 6W_t^2dt + 4W_t^3dW_t$,

lo que implica que

$W_t^4 = \int_0^t 6W_t^2ds + 4 \int_0^t W_s^3 dW_s$.

Entonces, me tomó de las expectativas y consiguió para el primer término

$E[\int_0^t 6W_t^2ds] = 6\int_0^t V[W_t]ds = 6\int_0^t sds = 3 t^2$.

Para calcular el segundo término, he aplicado Ito lema a $f(W_t) = W_t^4/4$ y consiguió

$df(W_t) = \frac{3}{2}W_t^2dt + W_t^3dW_t$,

lo que implica que

$\int_0^t W_s^3 dW_s = W_t^4/4 - \int_0^t \frac{3}{2} W_s^2ds$.

Así que, me tomó de nuevo las expectativas y consiguió

$E[\int_0^t W_s^3 dW_s] = E[W_t^4]/4 - \frac{3}{2} \int_0^t V[W_t]ds \\ = 3 t^4 /4 - 3 t^2 /4$.

Por lo tanto, mi resultado es $E[W_t^4]=3 t^2 + 4(3 t^4/4 - 3 t^2/4) = 3t^4$.

Sin embargo, en mi libro el segundo plazo se acaba de caer y el resultado fue $3 t^2$. Lo que está mal con mi manera de ser?

Answer 1

Primero de todo, hay varios errores en sus cálculos (por ejemplo, se debe leer $\int_0^t W_s^2 \,ds$ en lugar de $\int_0^t W_t^2 \, ds$). Su cálculo va mal al escribir

$$\mathbb{E} \left( \int_0^t W_s^3 \, dW_s \right) = \frac{\mathbb{E}(W_t^4)}{4} - \frac{3}{2} \int_0^t V(W_s) \, ds = \frac{\color{red}{3t^4}}{4} - \frac{3t^2}{4}.$$

(No entiendo lo que has hecho en este último paso se desea calcular el $\mathbb{E}(W_t^4)$; entonces, ¿por qué reemplazarlo con $3t^4$?)

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Tenga en cuenta que la aplicación de Itô del lexema es una exageración: Desde $W(_t)_{t \geq 0}$ es un proceso de Wiener, sabemos que $W_t \sim N(0,t)$ ($W_t$ es Gaussiano con media de $0$ y la varianza $t$) y en los momentos de Gauss variables aleatorias se puede calcular de forma explícita. Sin embargo, si usted realmente desea invocar la fórmula de Itô, a continuación, va así: Por la fórmula de Itô, tenemos

$$W_t^4 = 4 \int_0^t W_s^3 \, dW_s + 6 \int_0^t W_s^2 \, ds. \tag{1}$$

Desde $(W_s^3)_{s \geq 0}$ está correctamente integrable, sabemos que la integral estocástica

$$M_t := \int_0^t W_s^3 \, dW_s$$

es una martingala y, por tanto,$\mathbb{E}M_t = \mathbb{E}M_0=0$. Teniendo expectativa en $(1)$ rendimientos

$$\mathbb{E}(W_t^4) = 6 \int_0^t \mathbb{E}(W_s^2) \, ds$$

por el teorema de Fubini. Por último, desde el $\mathbb{E}(W_s^2)=s$, obtenemos $\mathbb{E}(W_t^4) = 3t^2$.