(Ya que estamos discutiendo un mínimo de polinomios y números algebraicos, voy a asumir que usted tiene cierta familiaridad con la teoría de Galois. Si no, esta solución podría no ser demasiado útil). El cálculo que creo que le interesa es como sigue: En general, si usted tiene algunos algebraica de números, $\alpha$, usted puede encontrar algunos de Galois de la extensión de $K \supset \mathbb{Q}$$\alpha \in K$. Entonces, el polinomio mínimo de a $\alpha$ $m_\alpha(x) = \prod_{i} (x - \alpha_i)$ cuando la $\alpha_i$ son los distintos Galois conjugados de $\alpha$. Las razones de este cálculo obras son como sigue:
Se puede ver que el polinomio es la garantía de tener coeficientes en $\mathbb{Q}$ debido a la aplicación de cualquier elemento de $\operatorname{Gal}(K / \mathbb{Q})$ $m_\alpha(x)$le dará el mismo polinomio. Por lo tanto, la coeffients de $m_\alpha(x)$ se fija por todos los automorfismos en $\operatorname{Gal}(K / \mathbb{Q})$, lo que implica que todos ellos están en $\mathbb{Q}$.
Además, usted puede ver el minimality del grado de $m_\alpha$ con el siguiente argumento. Supongamos que $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$$f(\alpha) = 0$. Entonces para cualquier $\sigma \in \operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$,$f(\sigma(\alpha)) = \sigma(f(\alpha)) = \sigma(0) = 0$, lo que implica que todos los distintos Galois conjugado de $\alpha$ es una raíz de $f$. Por lo tanto, $m_\alpha(x)$ divide $f(x)$, lo que da la minimality de su grado.
Por el ejemplo que dan sobre con $\alpha = \frac{3 + \sqrt{-5}}{7}$, podemos ver que $\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$, que tiene dos de los miembros de su grupo de Galois: la identidad y la automorphism que corrige $\mathbb{Q}$ y envía $\sqrt{-5}$$-\sqrt{-5}$. Por lo tanto, la Galois conjugados de $\alpha$ $\alpha$ sí y $\overline{\alpha} = \frac{3-\sqrt{-5}}{7}$. Entonces, el polinomio mínimo de a $\alpha$ está dado por $$m_\alpha(x) = (x - \alpha)(x - \overline{\alpha}) = x^2 - \frac{6}{7}x + \frac{2}{7}$$
