Es el caso que para los impares primos $p\geq5$, todos los grupos finitos con la auto-normalización de Sylow $p$-subgrupos se pueden resolver? El simple grupo de orden 168 muestra que esta hipótesis no se sostiene por $p=2$. Verrit la respuesta proporciona un contraejemplo al $p=3$.
¿Esta conjetura mantener para cualquier impares primos $p\geq5$? Si es así, hay una prueba de que no depende de la CFSG?
Edit: en un principio, pensé que me había demostrado que una mínima contraejemplo a esta conjetura fue forzosamente simple. Verrit la respuesta muestra que este no es el caso.
Revisión de un primer $p$ y deje $G$ ser de un mínimo de contraejemplo a la conjetura. Supongamos que $G$ no es simple.
1) Vamos a $H$ ser un trivial normal subgrupo de $G$ y deje $P$ ser un Sylow $p$-subgrupo de $G$. A continuación, $PH$ es un subgrupo de $G$ que contiene $N_G(P)$$N_G(PH)=PH$. También, $PH/H$ es un Sylow $p$-subgrupo de $G/H$ con $$N_{G/H}(PH/H)=N_G(PH)/H=PH/H.$$ A continuación, $G/H$ es solucionable por la minimality de $G$. Sin embargo, $G$ no es solucionable por lo $H$ no es solucionable.
2) Deje $H$ ser una normal y adecuada subgrupo de $G$ $G/H$ sencillo. A continuación, $G/H$ es cíclico de primer orden. Si $G/H$ no es cíclico de orden $p$ $H$ contiene un Sylow $p$-subgrupo de $G$ y por lo tanto Sylow $p$-subgrupos de $H$ son auto-normalización. El minimality de $G$ proporciona una contradicción. Esto demuestra que $G/H$ es cíclico de orden $p$. Si $p$ no divide al orden de $H$ $G\cong H\rtimes_\varphi C_p$ para algunos homomorphism $C_p\to Aut(H)$. Sin embargo, Sylow $p$-subgrupos de $G$ son auto-normalizar por lo que este homomorphism debe ser de punto fijo-libre. A continuación, $H$ admite un punto fijo-libre automorphism de primer orden que contradice la no-solvencia de $H$. En resumen, $p$ divide el orden de $H$ $G/H$ es cíclico de orden $p$.
