$f(t)-$una función característica. Demostrar que $|f(t)|$ no tiene que ser una característica de la función con base en el ejemplo: variable aleatoria Discreta
$$ X: \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \\ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{2}{3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{3}$$
$f(t)=Ee^{itX}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}e^{it}?$
Bueno para ser sincero no sé cómo hacer tal he probado algunos una de las siguientes propiedades de characteristicc funciones ($f$), pero se aplican a esta variable aleatoria parece, voy a escribir de todos modos, yo podría estar equivocado.
$$1.\ \ \ f(0)=1; |f(t)|<1;f(-t)=\overline{f(t)} \\ $$
Dado que la función característica es la expectativa de una cierta función del $f(t)$ necesita absolutamente convergentes. No sé cómo probar que tal. Aunque no he probado estas teorías en esta variable aleatoria, principalmente porque no sé cómo:
Teoría : la Función $f(t)$ es una función característica iff los siguientes son verdaderas:
-$1.)f(0)=1$
-$2.)|f(t)|\leq 1$
-$3.) f(t) \text{ is continuous}$
-$4.) f(t) \text{ is positively definite meaning for every collection of real numbers $t_1,t_2,...,t_n$ and for every collection of complex numbers $z_1,z_2,...,z_n$ applies $\sum_{j,k=1}^{n}f(t_j-t_k)z_j\overline{z_k}\geq 0$}$
Teoría B Si $f(t)$ es una función característica de tipo discreto, entonces la función de distribución se encuentra en la siguiente forma: $$P\{X=x\}=\lim_{T \to \infty }{\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}e^{itX}f(t)dt}$$ supongo que con esto habría que demostrar es que no se trata de un bien definido de probabilidad.
Voy muy probable puesto esto para la recompensa.
