¿Cómo puedo calcular una expresión para $(\exp(Qt))_{i,j}$ para algunos fijos $i, j$ y la matriz $Q$ ?
Cuando $Q$ es diagonalizable, podemos diagonalizar, pero ¿qué otra cosa se puede hacer?
Gracias.
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Supongo que es el momento adecuado para algo elaborado.
La razón por la que uno querría intentar diagonalizar una matriz antes de aplicar la exponencial (o cualquier función En realidad, es fácil calcular la exponencial de una matriz diagonal: basta con tomar la exponencial de las entradas diagonales. Para las matrices que se pueden diagonalizar (por ejemplo, las matrices normales) $\mathbf A=\mathbf V\mathbf\Lambda\mathbf V^{-1}$ la exponencial viene dada entonces por $\exp(\mathbf A)=\mathbf V\exp(\mathbf\Lambda)\mathbf V^{-1}$
Ahora, el problema es cuando su matriz es defectuosa (es decir, no diagonalizable, no posee un conjunto completo de vectores propios). Todavía queremos ser capaces de realizar una transformación de similitud de tal manera que uno puede (relativamente) aplicar fácilmente la función exponencial a la matriz resultante.
El Descomposición de Jordan es una de esas descomposiciones convenientes: se descompone una matriz como $\mathbf A=\mathbf S\mathbf J\mathbf S^{-1}$ , donde $\mathbf J$ es una matriz triangular. Si $\mathbf A$ eran diagonalizables para empezar, $\mathbf J$ es diagonal, y volvemos a tener una eigendecomposición. Para los defectuosos $\mathbf A$ se puede tratar $\mathbf J$ como una matriz diagonal de bloques cuyos bloques diagonales son escalares o los llamados Bloques de Jordania , matrices de la forma
$$\begin{pmatrix}\lambda&1&&\\&\lambda&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda\end{pmatrix}$$
(los elementos no indicados son cero), que $\mathbf J$ tendrá para cada grupo de valores propios repetidos $\mathbf A$ tiene. Informática $\exp(\mathbf A)$ entonces procede formalmente de la misma manera que en el caso diagonalizable: $\exp(\mathbf A)=\mathbf S\exp(\mathbf J)\mathbf S^{-1}$ .
Entonces, ¿cómo se puede calcular $\exp(\mathbf J)$ ? Los bloques escalares son fáciles de cuidar, así que lo que queda es una fórmula para calcular
$$f\begin{pmatrix}\lambda&1&&\\&\lambda&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda\end{pmatrix}$$
La fórmula que necesitamos es la siguiente (si el bloque Jordan es un $k\times k$ matriz):
$$f\begin{pmatrix}\lambda&1&&\\&\lambda&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&\lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(\lambda)&f^\prime(\lambda)&\cdots&\frac{f^{(k-1)}(\lambda)}{(k-1)!}\\&f(\lambda)&\ddots&\vdots\\&&\ddots&f^\prime(\lambda)\\&&&f(\lambda)\end{pmatrix}$$
Para la exponencial, esto se convierte en
$$\begin{pmatrix}\exp(\lambda)&\exp(\lambda)&\cdots&\frac{\exp(\lambda)}{(k-1)!}\\&\exp(\lambda)&\ddots&\vdots\\&&\ddots&\exp(\lambda)\\&&&\exp(\lambda)\end{pmatrix}$$
La prueba de esta fórmula es aquí .
En el ámbito de la aritmética inexacta, la descomposición de Jordan se vuelve poco fiable debido a una serie de elaboradas razones; para calcular de forma fiable el exponencial de una matriz, hay un montón de otras alternativas, como el escalado+cuadrado y el uso de la descomposición de Schur, una transformación de similitud a una matriz triangular que es más segura de calcular en aritmética inexacta. Moler y Van Loan abordan este tema en este artículo y su seguimiento .
codemac
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Para cualquier elemento $a$ de cualquier dimensión finita $\mathbb C$ -con 1, dejemos que $f_a\in\mathbb C[X]$ sea el único polinomio de grado $<\dim\mathbb C[a]$ Satisfaciendo a $f_a(a)=e^a$ . (La carta $X$ es un indeterminado).
Dejemos que $m\in\mathbb C[X]$ sea el polinomio mínimo de $a$ , dejemos que $\lambda$ sea una multiplicidad $\mu(\lambda)$ raíz de $m$ y que $x(\lambda)$ sea la imagen de $X$ en $\mathbb C[X]/(X-\lambda)^{\mu(\lambda)}$ .
Entonces $f_a$ se puede calcular resolviendo, gracias a la Fórmula de Taylor, las congruencias $$f_a\equiv f_{x(\lambda)}\quad\bmod\quad(X-\lambda)^{\mu(\lambda)},$$ donde $\lambda$ pasa por encima de las raíces de $m$ .
EDICIÓN DEL 22 DE ABRIL DE 2011. Aquí tienes más detalles: $$f_{x(\lambda)}=e^\lambda\ \sum_{n<\mu(\lambda)}\ \frac{(X-\lambda)^n}{n!}\quad,$$ $$f_a=\sum_\lambda\ T_\lambda\left(f_{x(\lambda)}\ \frac{(X-\lambda)^{\mu(\lambda)}}{m}\right)\frac{m}{(X-\lambda)^{\mu(\lambda)}}\quad,$$ donde $T_\lambda$ significa "grado $<\mu(\lambda)$ Polinomio de Taylor en $X=\lambda$ ".
EDICIÓN DEL 23 DE ABRIL DE 2011. Permítanme intentar describir cuál es (en mi humilde opinión) la relación entre los distintos enfoques.
De nuevo, dejemos que $a$ sea un elemento de una dimensión finita $\mathbb C$ -con 1 (por ejemplo $a$ es un $n$ por $n$ matriz compleja), y $m$ su polinomio mínimo. Poner $d := \deg m = \dim \mathbb C[a]$ . Entonces hay un único polinomio $f_a$ de grado $< d$ Satisfaciendo a $f_a(a) = e^a$ . Así, el cálculo $e^a$ equivale a calcular $f_a$ . Ahora, $f_a$ está determinada por las congruencias expuestas anteriormente (junto con la condición deg $\deg f_a < d$ ). Así, el cálculo de $e^a$ es equivalente a resolver estas congruencias.
Esta es la forma en que se suelen plantear las cosas. Hay un grado único $<d$ polinomio $g\in\mathbb C[X]$ tal que $g(a)$ es semisimple y $a-g(a)$ es nilpotente. La igualdad $$a=g(a)+(a-g(a))$$ se llama Descomposición de Jordan de $a$ . [Para obtener el Forma normal de Jordania de una matriz, hay que encontrar además, en cada eigespacio generalizado, una base que sea compatible, en cierto sentido, con la parte nilpotente]. Por supuesto, $e^a$ puede expresarse fácilmente en términos de la descomposición de Jordan. Pero la cuestión es ésta: ¿Cómo se calcula $g$ ? La respuesta es: resolviendo las congruencias $$g\equiv \lambda\quad\bmod\quad(X-\lambda)^{\mu(\lambda)},$$ donde $\lambda$ pasa por encima de las raíces de $m$ . Así, vemos que calcular la descomposición de Jordan es exactamente tan difícil como calcular la exponencial .
Como comentario adicional, permítanme recordar Fórmula de Lagrange para la exponencial de una matriz diagonalizable $a$ con valores propios $(\lambda_j)$ : $$e^a=\sum_j\ e^{\lambda_j}\ \prod_{k\not= j}\ \frac{a-\lambda_k}{\lambda_j-\lambda_k}\quad.$$
Diré que hay al menos tres formas de calcular $e^a$ para un $n$ por $n$ matriz compleja $a$ .
(1) Calcular la exponencial directamente, como se ha explicado anteriormente.
(2) Calcula primero la descomposición de Jordan y luego la exponencial (utilizando la descomposición).
(3) Calcula primero la forma normal de Jordan y luego la exponencial (utilizando la forma normal).
Creo que (3) es una complicación innecesaria: En los dos casos extremos, es decir, cuando $a$ es diagonalizable y cuando $a$ es nilpotente, no hay diferencia entre (1) y (2). En el caso diagonalizable, (1) y (2) dan la fórmula de Lagrange. Pero, si se quiere utilizar (3), hay que diagonalizar $a$ . ¿No es una pérdida de tiempo? En el caso nilpotente, (1) y (2) dan la respuesta obvia, pero para obtener la forma normal, hay que resolver un montón de sistemas lineales. ¿No es una pérdida de tiempo?
Como último comentario, permítanme explicar el punto de partida del argumento: Hay un isomorfismo obvio $\mathbb C[X]/(m)\to\mathbb C[a]$ , mapeando la imagen $x$ de $X$ a $a$ . Así, el cálculo $e^a$ es lo mismo que calcular $e^x$ . Además, $\mathbb C[X]/(m)$ esta álgebra es canónicamente isomorfa a un producto de álgebras polinómicas truncadas.
SEGUNDA EDICIÓN DEL 23 DE ABRIL DE 2011. El lector que tenga dudas puede probar los distintos métodos con ejemplos. El primer ejemplo, que no es del todo trivial, es la matriz que acompaña a $(X-a)^2(X-b)$ , donde $a$ y $b$ son números complejos distintos.
EDICIÓN DEL 24 DE ABRIL DE 2011. En términos más generales, dada una $n$ por $n$ matriz compleja $a$ Se pueden plantear las tres preguntas siguientes:
(a) ¿Cuál es el polinomio mínimo de $a$ ?
(b) ¿Cuál es la clase de conjugación de $a$ ?
c) Cómo poner $a$ en la forma normal de Jordan?
Es instructivo considerar el caso nilpotente (al que el caso general se reduce en cierto sentido):
Para responder a (a), debes encontrar el menor exponente $\mu$ Satisfaciendo a $a^\mu=0$ .
Para responder a (b), debe, además, calcular el rango de $a^j$ para $1\le j < \mu$ .
Para responder a (c), debes, además, resolver un montón de sistemas lineales.
Sólo se necesita (a) para calcular la exponencial.
Phonics The Hedgehog
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Se puede encontrar el exponencial de una matriz mediante el algoritmo de Putzer, que evita tanto el cálculo de la forma canónica de Jordan como de cualquier vector propio. El algoritmo de Putzer utiliza el teorema de Cayley-Hamilton, que establece que una matriz satisface su ecuación característica, de forma esencial.
A continuación se presenta un resumen del método para un $3 \times 3$ matriz $a$ . El caso general debería ser similar. La idea básica es que todas las potencias de $a$ empezando por $a^3, a^4, \ldots$ puede expresarse como una combinación lineal de $i, a, a^2.$ Utilizaremos diferentes combinaciones de $i, a, a^2$ en su lugar, como se explica en el siguiente párrafo.
Sea el polinomio característico de $a$ se escriba como $\det(\lambda I - A) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_3)$ . No importa cómo se etiqueten las raíces o incluso si son todas reales. Ahora definamos $p_0 = i, p_1 = (a - \lambda_1 i)p_0, p_2 = (a - \lambda_2 i)p_1.$ Necesitaremos las siguientes consecuencias $ a p_0 = \lambda_1 p_0 + p_1, a p_1 = \lambda_2 p_1 + p_2, a p_2 = \lambda_3 p_2.$
Ahora busca $e^{at} = i + at + \frac{t^2a^2}{2!} + \ldots$ . Dado que todas las potencias que empiezan por $a^3$ es una combinación lineal de $i, p_0, p_1$ gracias a c-h, $e^{at} = r_0 p_0 + r_1 p_1 + r_2 p_2.$ Utilizando $\frac{d}{dt}e^{at} = ae^{at}$ es fácil ver que $r_0,r_1, r_2$ satisfacer $$\frac{dr_0}{dt} = \lambda_1 r_0, \frac{dr_1}{dt} = \lambda_2 r_1 + r_0, \frac{dr_2}{dt} = \lambda_3 r_2 + r_1$$ junto con las condiciones iniciales $r_0(0) = 1, r_1(0) = 0, r_2(0) = 0.$
Una vez que tenemos $r_0, r_1, r_2$ la matriz fundamental $e^{at} = r_0 p_0 + r_1 p_1 + r_2 p_2$ y hemos terminado.
Greg C
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