¿funciones enteras y funciones multi-valued, una fácil de entender la explicación?

Question

De la wikipedia:

La función de Bessel de primera especie es toda una función si α es un entero, de lo contrario es una función de varios valores con la singularidad en cero.

He trazado la función de $J_\alpha(x)$ para un par de valores de $\alpha$ $-10\le x\le 10$ intervalo:

Plot[{Re[BesselJ[0, x]], Im[BesselJ[0, x]]}, {x, -10, 10}]

$\alpha = 0$

Plot[{Re[BesselJ[1, x]], Im[BesselJ[1, x]]}, {x, -10, 10}]

$\alpha = 1$

Plot[{Re[BesselJ[-2, x]], Im[BesselJ[-2, x]]}, {x, -10, 10}] 

$\alpha = -2$

Plot[{Re[BesselJ[5/4, x]], Im[BesselJ[5/4, x]]}, {x, -20, 20}]

$\alpha = \frac{5}{4}$

Plot[{Re[BesselJ[-2/3, x]], Im[BesselJ[-2/3, x]]}, {x, -20, 20}]  

$\alpha = \frac{-2}{3}$

Plot[{Re[BesselJ[Sqrt[2], x]], Im[BesselJ[Sqrt[2], x]]}, {x, -20, 20}] 

$\alpha = \sqrt{2}$

Plot[{Re[BesselJ[-Sqrt[3], x]], Im[BesselJ[-Sqrt[3], x]]}, {x, -20, 
  20}] 

$\alpha = -\sqrt{3}$

Plot[{Re[BesselJ[2 + I, x]], Im[BesselJ[2 + I, x]]}, {x, -20, 20}] 

$\alpha = 2+i$

Plot[{Re[BesselJ[-2 + I, x]], Im[BesselJ[-2 + I, x]]}, {x, -20, 20}]

$\alpha = -2+i$

Plot[{Re[BesselJ[10, x]], Im[BesselJ[10, x]]}, {x, -100, 100}]

$\alpha = 10$

Parece que para valores enteros de a $\alpha$, la función de $J_\alpha(x)$ es un valor real, pero para otros valores de $\alpha\in(\mathbb R-\mathbb Z)$ la función tiene valores complejos.

Podría usted dar por favor una fácil e intuitiva explicación de los conceptos de la función y varios valores de la función basada en estas parcelas?

Answer 1

Lo que está pasando aquí es que una función de Bessel $B$ se define implícitamente como una solución a una ecuación diferencial. Esto significa que si usted sabe un valor de $B$, decir $y = B(z)$ (y adecuado derivados $\mathrm{d}B/\mathrm{d}z$ etc), entonces usted puede encontrar los valores de $B(z+t)$ donde $z+t$ es cerca de $z$.

En particular, desea $B$ continuamente a lo definido. Así que si dejas $z$ vagar todo el plano complejo, a continuación, $B(z)$ debe variar de forma continua a medida que avanza.

"Toda la función" significa "función definida y holomorphic en todo el plano complejo." Es decir, para cada número complejo $z$ de la totalidad de la función de $B$ tiene un único valor de $B(z)$. (Y los valores están bien dispuestos de modo que la función tiene un complejo derivado: la definición geométrica es que la asignación conserva los ángulos localmente).

En este caso la vida es simple, y la función es continua a medida que se requiera.

Por otro lado, usted podría encontrar que como $z$ wanders hay caminos donde una continua selección de $B(z)$ no funciona: como $z$ viene de vuelta a donde comenzó su continua selección de $B$ ha terminado en un lugar diferente.

La forma más fácil ejemplo de esto es la raíz cuadrada. En coordenadas polares, $\sqrt (re^{i \theta})$ = $\sqrt({r}) \, e^{i \theta / 2}$. Si dejas $z$ inicio en $1$ ( $\sqrt{z} = 1$ ) y mueva $2\pi$ alrededor de la circunferencia de radio 1, a continuación, vuelva a $$\sqrt{1} e^{i 2\pi / 2} = e^{i \pi} = -1$$

Siguiendo una ruta en un círculo que han llegado a la raíz cuadrada!

En este caso no hay ninguna función que puede definir "$\sqrt{z}$" en todo el avión. Pero para cada una de las $z$ hay sólo un número finito (¡dos!) posibles raíces cuadradas (llamarlos $a$$b$). Así que si usted está dispuesto a permitir $\sqrt: z \mapsto \{a, b\}$, entonces esta es una función a una "múltiples" plano complejo cuyo rango es un conjunto de pares de números complejos.

Hemos definido una multifunción. Si empezamos a cualquier $z$ y un valor de $\sqrt (z)$, entonces se puede tomar una selección continua de los valores de la raíz cuadrada, como un funcionamiento normal, siempre que no se alejan demasiado antes de regresar.

Excepto que en este caso $0$ es especial porque tiene un solo valor. Y no hay manera de tomar un pequeño barrio de $0$ $\sqrt$ continuamente se definen en ella. Pero nos permitimos tales singularidades como están aislados.

(De manera similar a una multifunción puede tener un número infinito de valores siempre y cuando sólo hay countably muchos "hojas": $\log$ es como este)

Estos temas son tratados en el primer semestre de análisis complejo de los cursos: cualquier introductorio de la universidad de texto deberían ser útil.